码迷，mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

树链剖分小结

时间：2019-05-14 21:57:03      阅读：137      评论：0      收藏：0      [点我收藏+]

标签：\n   就是   pre   namespace   i++   模板题   scan   cli   hide   

 最近在学树链剖分，写篇文章记录一下。

原理及代码：https://blog.csdn.net/cdy1206473601/article/details/79189553#_11

题目：https://www.cnblogs.com/hanruyun/p/9577500.html。

 

树链剖分说白了就是把一棵树拆成若干个不相交的链，然后用一些数据结构去维护这些链。因为通常的数据结构处理区间信息很容易，但处理树上的信息就显得捉襟见肘了。于是我们想到把树拍成一个区间用线段树去维护信息。（和树的dfs序是类似的原理）。

 树链剖分的几个常见应用：

①查询/修改树的子树的值：因为dfs的遍历顺序关系，每颗子树在线段树上必定是一段连续的区间，所以容易处理。

②查询/修改树两点路径间的值：因为每条重链是一段连续区间，那么两点间路径肯定是若干条链合起来得到，也就是线段树上的几段区间。

 

模板题：洛谷P3384

#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,rt,MOD,num=0,v[N];
struct node{
    int dep,fa,val,sz,heavy;
    int toseg,top; 
}tree[N];  //原本的树 
int totree[N<<2];  //线段树点i代表原树的点totree[i] 

/*-------------------------以下为线段树-----------------------------*/
int sum[N<<2],tag[N<<2];
void pushdown(int rt,int len1,int len2) {
    sum[rt<<1]+=tag[rt]*len1%MOD; sum[rt<<1]%=MOD; 
    tag[rt<<1]+=tag[rt]%MOD; tag[rt<<1]%=MOD;
    sum[rt<<1|1]+=tag[rt]*len2%MOD; sum[rt<<1|1]%=MOD;
    tag[rt<<1|1]+=tag[rt]%MOD; tag[rt<<1|1]%=MOD;
    tag[rt]=0;
}
void pushup(int rt) {
    sum[rt]=(sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1])%MOD;
}

void build(int rt,int l,int r) {
    if (l==r) {
        sum[rt]=tag[rt]=tree[totree[l]].val%MOD;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(rt<<1,l,mid);
    build(rt<<1|1,mid+1,r);
    pushup(rt);
}

void update(int rt,int l,int r,int ql,int qr,int v) {
    if (ql<=l && r<=qr) {
        sum[rt]+=v*(r-l+1)%MOD; sum[rt]%=MOD;
        tag[rt]+=v%MOD; tag[rt]%=MOD;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    pushdown(rt,mid-l+1,r-mid);
    if (ql<=mid) update(rt<<1,l,mid,ql,qr,v);
    if (qr>mid) update(rt<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
    pushup(rt);
}

int query(int rt,int l,int r,int ql,int qr) {
    if (ql<=l && r<=qr) return sum[rt];
    int mid=l+r>>1,ret=0;
    pushdown(rt,mid-l+1,r-mid);
    if (ql<=mid) ret=(ret+query(rt<<1,l,mid,ql,qr))%MOD;
    if (qr>mid) ret=(ret+query(rt<<1|1,mid+1,r,ql,qr))%MOD;
    return ret;
}

/*--------------------------以下为树链剖分----------------------------*/
int cnt=1,head[N<<1],to[N<<1],nxt[N<<1];
void add_edge(int x,int y) {
    nxt[++cnt]=head[x]; to[cnt]=y; head[x]=cnt;
}

void dfs1(int x,int fa,int dep) {  //点x的父亲为fa深度为dep 
    tree[x].dep=dep;
    tree[x].fa=fa;
    tree[x].sz=1;
    tree[x].val=v[x];
    int maxson=-1;
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
        int y=to[i];
        if (y==fa) continue;
        dfs1(y,x,dep+1);
        tree[x].sz+=tree[y].sz;
        if (tree[y].sz>maxson) tree[x].heavy=y,maxson=tree[y].sz;
    }
}

void dfs2(int x,int top) {  //点x所在树链的top 
    tree[x].toseg=++num;
    tree[x].top=top;
    totree[num]=x;
    if (!tree[x].heavy) return;  //叶子结点 
    dfs2(tree[x].heavy,top);  //先剖分重儿子 
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i]) {  //再剖分轻儿子 
        int y=to[i];
        if (y==tree[x].fa || y==tree[x].heavy) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

//以下两个函数是树链剖分的精髓 
void update2(int x,int y,int z) {  //修改x到y路径的值 
    while (tree[x].top!=tree[y].top) {  //不在同一条链上 
        if (tree[tree[x].top].dep<tree[tree[y].top].dep) swap(x,y);  //x为深度大的链 
        update(1,1,n,tree[tree[x].top].toseg,tree[x].toseg,z);  //x向上跳的同时更新 
        x=tree[tree[x].top].fa;  //深度大的向上跳 
    }
    if (tree[x].dep>tree[y].dep) swap(x,y);  //这里x和y在同一条链 
    update(1,1,n,tree[x].toseg,tree[y].toseg,z);  //x和y这条链的更新 
}

int query2(int x,int y) {  //查询x到y路径的值，原理同上 
    int ret=0;
    while (tree[x].top!=tree[y].top) {
        if (tree[tree[x].top].dep<tree[tree[y].top].dep) swap(x,y);
        ret=(ret+query(1,1,n,tree[tree[x].top].toseg,tree[x].toseg))%MOD;
        x=tree[tree[x].top].fa;
    }
    if (tree[x].dep>tree[y].dep) swap(x,y);
    ret=(ret+query(1,1,n,tree[x].toseg,tree[y].toseg))%MOD;
    return ret;
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>rt>>MOD;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&v[i]);
    for (int i=1;i<n;i++) {
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        add_edge(x,y); add_edge(y,x);
    }
    dfs1(rt,0,1);  //树链剖分准备信息 
    dfs2(rt,rt);  //开始树链剖分 
    build(1,1,n);  //把树链建成线段树 
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int opt,x,y,z; scanf("%d",&opt);
        if (opt==1) {  //修改x到y路径的点的值 
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            update2(x,y,z%MOD);
        }
        if (opt==2) {  //查询x到y路径的值 
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%d\n",query2(x,y));
        }
        if (opt==3) {  //修改x子树的值 
            scanf("%d%d",&x,&z);
            update(1,1,n,tree[x].toseg,tree[x].toseg+tree[x].sz-1,z%MOD);
        }
        if (opt==4) {  //查询x子树的值 
            scanf("%d",&x);
            printf("%d\n",query(1,1,n,tree[x].toseg,tree[x].toseg+tree[x].sz-1));
        }
    }
    return 0;
}

 

比较简单的树链剖分题目其实就是上面说的这两种应用或其变式，都是对树链剖分本身基本没有变化，都是在维护树链的数据结构做变化 (例如：线段树等等)。这里还有几道练习题：

洛谷P4116 Qtree3

树链剖分后，线段树维护区间黑点的深度最小点（即区间黑点中深度最小的一个），那么第一个操作就是单点更新，第二个操作就是区间查询而已。变成了简单的线段树操作。

技术图片 
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
int n,m,rt,num=0,v[N];
struct node{
    int dep,fa,val,sz,heavy;
    int toseg,top; 
}tree[N];  //原本的树 
int totree[N<<2];  //线段树点i代表原树的点totree[i] 

/*-------------------------以下为线段树-----------------------------*/
LL Min[N<<2];
void pushup(int rt) {
    if (tree[Min[rt<<1]].dep<tree[Min[rt<<1|1]].dep) Min[rt]=Min[rt<<1];
    else Min[rt]=Min[rt<<1|1];
}

void build(int rt,int l,int r) {
    Min[rt]=0;
    if (l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    build(rt<<1,l,mid);
    build(rt<<1|1,mid+1,r);
}

void update(int rt,int l,int r,int ql,int qr,int v) {
    if (ql<=l && r<=qr) {
        Min[rt]=v;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if (ql<=mid) update(rt<<1,l,mid,ql,qr,v);
    if (qr>mid) update(rt<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
    pushup(rt);
}

int query(int rt,int l,int r,int ql,int qr) {
    if (ql<=l && r<=qr) return Min[rt];
    int mid=l+r>>1,ret=0;
    if (ql<=mid) {
        int t=query(rt<<1,l,mid,ql,qr);
        if (tree[ret].dep>tree[t].dep) ret=t;
    }
    if (qr>mid) {
        int t=query(rt<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
        if (tree[ret].dep>tree[t].dep) ret=t;
    }
    return ret;
}

/*--------------------------以下为树链剖分----------------------------*/
int cnt=1,head[N<<1],to[N<<1],nxt[N<<1];
void add_edge(int x,int y) {
    nxt[++cnt]=head[x]; to[cnt]=y; head[x]=cnt;
}

void dfs1(int x,int fa,int dep) {  //点x的父亲为fa深度为dep 
    tree[x].dep=dep;
    tree[x].fa=fa;
    tree[x].sz=1;
    tree[x].val=v[x];
    int maxson=-1;
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
        int y=to[i];
        if (y==fa) continue;
        dfs1(y,x,dep+1);
        tree[x].sz+=tree[y].sz;
        if (tree[y].sz>maxson) tree[x].heavy=y,maxson=tree[y].sz;
    }
}

void dfs2(int x,int top) {  //点x所在树链的top 
    tree[x].toseg=++num;
    tree[x].top=top;
    totree[num]=x;
    if (!tree[x].heavy) return;  //叶子结点 
    dfs2(tree[x].heavy,top);  //先剖分重儿子 
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i]) {  //再剖分轻儿子 
        int y=to[i];
        if (y==tree[x].fa || y==tree[x].heavy) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

int query2(int x,int y) {  //查询x到y路径的值，原理同上 
    int ret=0;
    while (tree[x].top!=tree[y].top) {
        if (tree[tree[x].top].dep<tree[tree[y].top].dep) swap(x,y);
        int t=query(1,1,n,tree[tree[x].top].toseg,tree[x].toseg);
        if (tree[ret].dep>tree[t].dep) ret=t;
        x=tree[tree[x].top].fa;
    }
    if (tree[x].dep>tree[y].dep) swap(x,y);
    int t=query(1,1,n,tree[x].toseg,tree[y].toseg);
    if (tree[ret].dep>tree[t].dep) ret=t;
    return ret;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<n;i++) {
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        add_edge(x,y); add_edge(y,x);
    }
    rt=1;
    dfs1(rt,0,1);  //树链剖分准备信息 
    dfs2(rt,rt);  //开始树链剖分 
    build(1,1,n);  //把树链建成线段树 

    tree[0].dep=INF;
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int opt,x; scanf("%d%d",&opt,&x);
        if (opt==0) {
            if (v[x]==0) update(1,1,n,tree[x].toseg,tree[x].toseg,x);
            if (v[x]==1) update(1,1,n,tree[x].toseg,tree[x].toseg,0);
            v[x]=1-v[x];
        } else {
            int t=query2(1,x);
            if (t==0) puts("-1");
            else printf("%d\n",t);
        }
    }
    return 0;
}
View Code

 

洛谷P4092 HEOI2016/TJOI2016 树

这道题和上题差不多，唯一变化只是这里要维护的是区间标记点深度最大点。

技术图片 
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
int n,m,rt,num=0,v[N];
struct node{
    int dep,fa,val,sz,heavy;
    int toseg,top; 
}tree[N];  //原本的树 
int totree[N<<2];  //线段树点i代表原树的点totree[i] 

/*-------------------------以下为线段树-----------------------------*/
LL Max[N<<2];
void pushup(int rt) {
    if (tree[Max[rt<<1]].dep>tree[Max[rt<<1|1]].dep) Max[rt]=Max[rt<<1];
    else Max[rt]=Max[rt<<1|1];
}

void build(int rt,int l,int r) {
    Max[rt]=0;
    if (l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    build(rt<<1,l,mid);
    build(rt<<1|1,mid+1,r);
}

void update(int rt,int l,int r,int ql,int qr,int v) {
    if (ql<=l && r<=qr) {
        Max[rt]=v;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if (ql<=mid) update(rt<<1,l,mid,ql,qr,v);
    if (qr>mid) update(rt<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
    pushup(rt);
}

int query(int rt,int l,int r,int ql,int qr) {
    if (ql<=l && r<=qr) return Max[rt];
    int mid=l+r>>1,ret=0;
    if (ql<=mid) {
        int t=query(rt<<1,l,mid,ql,qr);
        if (tree[ret].dep<tree[t].dep) ret=t;
    }
    if (qr>mid) {
        int t=query(rt<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
        if (tree[ret].dep<tree[t].dep) ret=t;
    }
    return ret;
}

/*--------------------------以下为树链剖分----------------------------*/
int cnt=1,head[N<<1],to[N<<1],nxt[N<<1];
void add_edge(int x,int y) {
    nxt[++cnt]=head[x]; to[cnt]=y; head[x]=cnt;
}

void dfs1(int x,int fa,int dep) {  //点x的父亲为fa深度为dep 
    tree[x].dep=dep;
    tree[x].fa=fa;
    tree[x].sz=1;
    tree[x].val=v[x];
    int maxson=-1;
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
        int y=to[i];
        if (y==fa) continue;
        dfs1(y,x,dep+1);
        tree[x].sz+=tree[y].sz;
        if (tree[y].sz>maxson) tree[x].heavy=y,maxson=tree[y].sz;
    }
}

void dfs2(int x,int top) {  //点x所在树链的top 
    tree[x].toseg=++num;
    tree[x].top=top;
    totree[num]=x;
    if (!tree[x].heavy) return;  //叶子结点 
    dfs2(tree[x].heavy,top);  //先剖分重儿子 
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i]) {  //再剖分轻儿子 
        int y=to[i];
        if (y==tree[x].fa || y==tree[x].heavy) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

int query2(int x,int y) {  //查询x到y路径的值，原理同上 
    int ret=0;
    while (tree[x].top!=tree[y].top) {
        if (tree[tree[x].top].dep<tree[tree[y].top].dep) swap(x,y);
        int t=query(1,1,n,tree[tree[x].top].toseg,tree[x].toseg);
        if (tree[ret].dep<tree[t].dep) ret=t;
        x=tree[tree[x].top].fa;
    }
    if (tree[x].dep>tree[y].dep) swap(x,y);
    int t=query(1,1,n,tree[x].toseg,tree[y].toseg);
    if (tree[ret].dep<tree[t].dep) ret=t;
    return ret;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<n;i++) {
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        add_edge(x,y); add_edge(y,x);
    }
    rt=1;
    dfs1(rt,0,1);  //树链剖分准备信息 
    dfs2(rt,rt);  //开始树链剖分 
    build(1,1,n);  //把树链建成线段树 

    tree[0].dep=0;
    update(1,1,n,tree[1].toseg,tree[1].toseg,1);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        char opt[3]; int x; scanf("%s%d",&opt,&x);
        if (opt[0]==‘C‘) {
            update(1,1,n,tree[x].toseg,tree[x].toseg,x);
        } else {
            int t=query2(1,x);
            printf("%d\n",t);
        }
    }
    return 0;
}
View Code

 

树链剖分小结

标签：\n   就是   pre   namespace   i++   模板题   scan   cli   hide   

原文地址：https://www.cnblogs.com/clno1/p/10858546.html
踩
(0)
赞
(0)
   
举报
评论 一句话评论（0）
登录后才能评论！
分享档案
更多>
2021年07月29日 (22)
2021年07月28日 (40)
2021年07月27日 (32)
2021年07月26日 (79)
2021年07月23日 (29)
2021年07月22日 (30)
2021年07月21日 (42)
2021年07月20日 (16)
2021年07月19日 (90)
2021年07月16日 (35)
周排行
mamicode.com排行更多图片
更多
友情链接
兰亭集智   国之画   百度统计   站长统计   阿里云   chrome插件   新版天听网
关于我们 - 联系我们 - 留言反馈
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码！