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Dijkstra算法（单源最短路径）
单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
一.最短路径的最优子结构性质
该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P‘(k,s)，那么P‘(i,j)=P(i,k)+P‘(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二.Dijkstra算法
由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，
假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。
1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；
2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})
3.知道U=V，停止。
代码实现:
1 /*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/ 2 3 #include <iostream> 4 #include<stack> 5 #define M 100 6 #define N 100 7 using namespace std; 8 9 typedef struct node 10 { 11 int matrix[N][M]; //邻接矩阵 12 int n; //顶点数 13 int e; //边数 14 }MGraph; 15 16 void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源顶点 17 { 18 int i,j,k; 19 bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n); 20 for(i=0;i<g.n;i++) //初始化 21 { 22 if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0) 23 { 24 dist[i]=g.matrix[v0][i]; 25 path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点 26 } 27 else 28 { 29 dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大 30 path[i]=-1; 31 } 32 visited[i]=false; 33 path[v0]=v0; 34 dist[v0]=0; 35 } 36 visited[v0]=true; 37 for(i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次 38 { 39 int min=INT_MAX; 40 int u; 41 for(j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点 42 { 43 if(visited[j]==false&&dist[j]<min) 44 { 45 min=dist[j]; 46 u=j; 47 } 48 } 49 visited[u]=true; 50 for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值 51 { 52 if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k]) 53 { 54 dist[k]=min+g.matrix[u][k]; 55 path[k]=u; 56 } 57 } 58 } 59 } 60 61 void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点 62 { 63 stack<int> s; 64 int u=v; 65 while(v!=v0) 66 { 67 s.push(v); 68 v=path[v]; 69 } 70 s.push(v); 71 while(!s.empty()) 72 { 73 cout<<s.top()<<" "; 74 s.pop(); 75 } 76 } 77 78 int main(int argc, char *argv[]) 79 { 80 int n,e; //表示输入的顶点数和边数 81 while(cin>>n>>e&&e!=0) 82 { 83 int i,j; 84 int s,t,w; //表示存在一条边s->t,权值为w 85 MGraph g; 86 int v0; 87 int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n); 88 int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n); 89 for(i=0;i<N;i++) 90 for(j=0;j<M;j++) 91 g.matrix[i][j]=0; 92 g.n=n; 93 g.e=e; 94 for(i=0;i<e;i++) 95 { 96 cin>>s>>t>>w; 97 g.matrix[s][t]=w; 98 } 99 cin>>v0; //输入源顶点 100 DijkstraPath(g,dist,path,v0); 101 for(i=0;i<n;i++) 102 { 103 if(i!=v0) 104 { 105 showPath(path,i,v0); 106 cout<<dist[i]<<endl; 107 } 108 } 109 } 110 return 0; 111 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/songacm/p/4040660.html
