【题解】Luogu P4910 帕秋莉的手环

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“连续的两个中至少有1个金的”珂以理解为“不能有两个木相连”

我们考虑一个一个将元素加入手环

设f\([i][0/1]\)表示长度为\(i\)手环末尾有\(0/1\)个木的种类数

仔细想想发现它实际就是一个斐波那契数列（\(fib[1]=fib[2]=1\)）

因为首尾相接，所以开头要分类讨论

• 第一个是金：对答案的贡献为\(fib[n]+fib[n-1]\)

• 第一个是木：对答案的贡献为\(fib[n-1]\)

矩阵快速幂即可

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline ll read()
{
    register ll x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
struct mat{
    int a[2][2];
    inline mat()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    inline mat operator*(const mat&b)const{
        mat c;
        for(register int i=0;i<2;++i)
            for(register int j=0;j<2;++j)
                for(register int k=0;k<2;++k)
                    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+1ll*a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
        return c;
    }
}s,o,ans;
inline mat fastpow(register mat a,register ll b)
{
    mat res;
    res.a[0][0]=res.a[1][1]=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=res*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int T;
ll n;
int main()
{
    T=read();
    s.a[0][0]=s.a[0][1]=s.a[1][0]=1;
    o.a[0][0]=1;
    while(T--)
    {
        n=read();
        ans=o*fastpow(s,n-1);
        write((1ll*ans.a[0][0]+ans.a[0][1]*2ll)%mod),puts("");
    }
    return 0;
}

【题解】Luogu P4910 帕秋莉的手环

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