高数中的线性相关,线性无关,内积,点乘,投影的概念

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1.线性相关,线性无关

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立 (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。

定义:

在向量空间V的一组向量A:  ，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使

则称向量组A是线性相关的 ，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。

由此定义看出  是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。

即是看 这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。

此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而 线性相关。

 如 : 

有三个数a，b，c
如果存在不全为0的三个数m，n，k
使得ma+nb+kc=0
就说a，b，c线性相关 否则若只有当m=n=k=0时成立，则它们线性无关
其实a，b，c代表的东西很多，不一定就是数字，也可以是向量啊，等等
数量也不一定是三个，在这只是举个例子，也可以是无限多个

 2.内积,点乘(点积)

在一个向量空间V中，定义在  上的正定对称双线性形式函数即是V的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。

设二维空间内有两个向量  和  ，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

 

 

 

设二维空间内有两个向量  和  ，  和  表示向量a和b的大小，它们的夹角为  ，则内积定义为以下实数：

 该定义只对二维和三维空间有效。

 3.投影

 定义 :  

 投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换P是投影，当且仅当。

另外一个定义则较为直观：P是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得P将所有V中的元素都映射到W中，而且P在W上是恒等变换。

用数学的语言描述，就是： ，使得  ，并且  。 

 文章引自 : 《百度百科》

高数中的线性相关,线性无关,内积,点乘,投影的概念

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