标签：nbsp src 操作 pac space tin bsp cli col
pro： T次询问，每次给出N（N<1e8），求所有Σi^4 (i<=N，且gcd(i,N)==1) ;
sol： 因为N比较小，我们可以求出素因子，然后容斥。 主要问题就是求1到P的4次幂和。 我们知道K次幂和是一个K+1次多项式。
这里有公式Pre=P*(P+1)*(2P+1)*(3P^2+3P-1)/30; 在不知道公式的情况下，我们可以用拉格朗日差值法求。
1，下面给出DFS容斥的代码 。
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=2000010; const ll Mod=1e9+7; int p[maxn],tot,N,T,ans,Rev=233333335; void init() { ll tN=N; tot=0; ans=0; for(int i=2;i<=tN/i;i++){ if(tN%i==0){ p[++tot]=i; while(tN%i==0) tN/=i; } } if(tN>1) p[++tot]=tN; } int get(ll y) { ll res=y*(y+1)%Mod; res=(y*2+1)%Mod*res%Mod; res=(y*y%Mod*3%Mod+(y*3-1)%Mod)*res%Mod; res=res*Rev%Mod; return res; return 1LL*y*(y+1)%Mod*(y*2%Mod+1)%Mod*((3LL*y%Mod*y%Mod+y*3%Mod-1+Mod)%Mod)%Mod*Rev%Mod; } void dfs(int pos,int opt,ll sum) { if(pos==tot+1){ ll t=1LL*sum*sum%Mod*sum%Mod*sum%Mod; ll x=get(N/sum); x=x*t%Mod; if(opt==1) ans=(ans+x)%Mod; else ans=((ans-x)%Mod+Mod)%Mod; return ; } dfs(pos+1,opt,sum); dfs(pos+1,-opt,sum*p[pos]); } int main() { scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d",&N); init(); dfs(1,1,1LL); printf("%d\n",ans); } return 0; }
2，这里的DFS还可以小小的优化一下， 想象一下，DFS的过程是遍历一颗二叉树，那么它遍历了所有的节点， 而且遍历的过程是老老实实一步步走下去的，所以还可以优化一下。 假设不操作则加入左儿子，有操作进入右儿子。 由于每次我遍历到叶子节点才进行计算， 所以很多时候，我向左走其实进行了一些没有价值的访问，会浪费一些时间。
而我现在可以在非叶子节点就进行计算，非叶子节点代表的是一直左走代表的叶子（即用节点代表对应的叶子，减少了不必要的访问）。 这样的话，不会存在浪费。 （虽然在此题中未体现出优劣性，但是去年深圳热身赛有一道搜索题就需要这样才能过。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=2000010; const int Mod=1e9+7; int p[maxn],tot,N,T,ans,Rev=233333335; void init() { int tN=N; tot=0; ans=0; for(int i=2;i*i<=tN;i++){ if(tN%i==0){ p[++tot]=i; while(tN%i==0) tN/=i; } } if(tN>1) p[++tot]=tN; } void dfs(int pos,int opt,int sum) //稍微优化后的DFS { int t=1LL*sum*sum%Mod*sum%Mod*sum%Mod; int y=N/sum; int x=1LL*y*(y+1)%Mod*(y*2+1)%Mod*(1LL*y*y*3%Mod+y*3-1)%Mod*Rev%Mod; if(opt==1) (ans+=1LL*x*t%Mod)%=Mod; else ((ans-=1LL*x*t%Mod)+=Mod)%=Mod; for(int i=pos+1;i<=tot;i++){ dfs(i,-opt,sum*p[i]); } } int main() { scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d",&N); init(); dfs(0,1,1); printf("%d\n",ans); } return 0; }
3，以及把公式改为拉格朗日差值来求的代码，4次多项式，前者和为5次多项式，可以通过求前6项来求：（当然这里的拉格朗日还可以优化为O（N），我懒得改了
#include<bits/stdc++.h> #include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std; const int maxn=2000010; const int Mod=1e9+7; int X[maxn]={0,1,2,3,4,5,6},Y[maxn]={0,1,17,98,354,979,2275}; int p[maxn],tot,N,T,ans,Rev=233333335; int qpow(int a,int x) { int res=1; while(x){ if(x&1) res=1LL*res*a%Mod; x>>=1; a=1LL*a*a%Mod; } return res; } int Lange(int K) { int res=0; rep(i,1,6) { int tmp=Y[i]; rep(j,1,6) { if(j==i) continue; tmp=1LL*tmp*(K-X[j])%Mod*qpow(X[i]-X[j],Mod-2)%Mod; tmp=(tmp+Mod)%Mod; } (res+=tmp)%=Mod; } return res; } void init() { int tN=N; tot=0; ans=0; for(int i=2;i*i<=tN;i++){ if(tN%i==0){ p[++tot]=i; while(tN%i==0) tN/=i; } } if(tN>1) p[++tot]=tN; } void dfs(int pos,int opt,int sum) //稍微优化后的DFS { int t=1LL*sum*sum%Mod*sum%Mod*sum%Mod; int y=N/sum; int x=Lange(y); if(opt==1) (ans+=1LL*x*t%Mod)%=Mod; else ((ans-=1LL*x*t%Mod)+=Mod)%=Mod; for(int i=pos+1;i<=tot;i++){ dfs(i,-opt,sum*p[i]); } } int main() { scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d",&N); init(); dfs(0,1,1); printf("%d\n",ans); } return 0; }
HDU - 4059： The Boss on Mars （容斥 拉格朗日 优化）
标签：nbsp src 操作 pac space tin bsp cli col
原文地址：https://www.cnblogs.com/hua-dong/p/10981246.html
