解决动态连通性——并查集

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先贴一个大佬的文章，解释有趣简单，非常适合新人~

大佬tql

不过这个原帖的阅读量还没有几个转发的高……唉

　　什么是并查集？并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。在实际解决问题的过程中并查集的应用广泛，但主要还是用来判断两点是否联通，以及寻找一个节点的祖先。

　　下面我们通过一个例子来简单了解一下并查集。

houge，hiang，revolver是UJN的三名大一新生。其中，houge和hiang在计1801班，班长是宋同学，班主任是曲老师；revolver在计1802班，班长是张同学，班主任是王老师，我们就可以据此得到一个关系图

 现在我们想找一下houge和revolverz的最大的上级：首先houge的直接上级是宋同学，宋同学的上级是曲老师；revolverz的直接上级是张同学，张同学的上级是王老师。这样一来，我们的任务就完成了。但是我们每次想要找一个同学最大的上级的时候都需要经过中间人，这样太麻烦了，我们不如把每个同学的直接上级都改为他的最大上级，这样就方便了许多。

 改完之后我们发现houge，hiang和revolverz虽然在一个队伍里，却不在一个班级里，好在大二分流之后重新分班，要把计1802的同学全部加入到计1801里。我们把计1802班级里的所有人的上级，都改为曲老师，这样R神就和我们一个班了！但是有什么用呢？他已经退役了。

 我们还会发现王老师的上级竟然变成了曲老师，没办法，谁让计1802班合并了呢 XD

上面这个过程就简单实现了并查集的三个操作：查询、路径压缩和合并。

下面我们试着用代码来实现上面的过程。

一、查询

首先我们需要一个数组pre[]来记录当前结点的父结点，如该结点没有父结点，我们让pre[this]等于它本身。如对于上面的例子，我们可以赋值：pre[1]=pre[2]=4,pre[4]=6,pre[6]=6,pre[3]=5,pre[5]=7,pre[7]=7。

若要查询一个结点的根结点，我们要查询它的父结点，在查询父结点的父结点……直到一个结点的父结点就是他本身为止（pre[i]=i），代码如下：

1 int union_find(int x)
2 {
3     int r=x;
4     while(r!=pre[r])
5     {
6         r=pre[r];
7     }
8     return r;
9 }

同时我们也可以查询两个不同的结点是否在同一个通路里面，只需要判断一下两个结点的根结点是否相同即可，这一步的代码与合并一起在下面给出。

二、路径压缩

虽然查询操作的耗时不算大，但是当你的一个结点和它的根结点之间有很多的中间结点，而且查询的次数非常多的时候，就可能会耗费非常多的时间。那么我们可以在每一次的查询过程中，都进行路径压缩，把一个结点的父结点直接改为根结点，来达到防止浪费时间的目的。

 1 int union_find(int x)
 2 {
 3     int r=x;
 4     while(r!=pre[r])
 5     {
 6         r=pre[r];
 7     }
 8     int i=x,j;
 9     while(pre[i]!=r)    //路径压缩
10     {
11         j=pre[i];
12         pre[i]=r;
13         i=j;
14     }
15     return r;
16 }

三、合并

对于两个在不同通路的结点，若想把它们合并为一个通路，只需要把一个结点设为另一个点的父结点即可（无特殊需要，没有顺序要求）。

1 void join(int a,int b)
2 {
3     int u,v;
4     u=union_find(a);
5     v=union_find(b);
6     if(u!=v) pre[u]=v;
7 }

这样我们就把并查集的基本功能都实现了，下面来看一些题目。

四、相关应用及题目

1.例题 Luogu P3367【模板】并查集

代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int pre[10005];
 6 
 7 int union_find(int x)
 8 {
 9     int r=x;
10     while(r!=pre[r])
11     {
12         r=pre[r];
13     }
14     int i=x,j;
15     while(pre[i]!=r)
16     {
17         j=pre[i];
18         pre[i]=r;
19         i=j;
20     }
21     return r;
22 }
23 
24 void join(int a,int b)
25 {
26     int u,v;
27     u=union_find(a);
28     v=union_find(b);
29     if(u!=v) pre[u]=v;
30 }
31 
32 int main()
33 {
34     int n,m;
35     scanf("%d%d",&n,&m);
36     for(int i=0;i<=n;i++) pre[i]=i;
37     while(m--)
38     {
39         int x,y,z;
40         scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
41         if(z==1) join(x,y);
42         else
43         {
44             int a,b;
45             a=union_find(x);
46             b=union_find(y);
47             if(a==b) printf("Y\n");
48             else printf("N\n");
49         }
50     }
51     return 0;
52 }

Luogu P3367

2.最小生成树——Kruskal

在Kruskal中我们利用并查集来判断目前所选边的两点是否已经连通。

相关链接：求最小生成树——Kruskal

五、其他题目

Author : Houge　　Date : 2019.6.4

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解决动态连通性——并查集

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