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四变形不等式

（以下所有的自变量的讨论均在整数范围内，设w（a，b）为关于a，b的二元函数）

定义

若二元函数满足当\(a\leq b\leq c\leq d,\)有\(w(a,d)+w(b,c)\geq w(a,c)+w(b,d)\)，则称二元函数满足四变形不等式。

性质

四边形不等式判定定理

若\(a< b,w(a,b+1)+w(a+1,b)\geq w(a,b)+w(a+1,b+1)\)，则二元函数w满足四变形不等式。

证明：

对于\(a<c\)，一定有

\(w(a,c+1)+w(a+1,c)\geq w(a,c)+w(a+1,c+1)\)

假设\(a+k<c\)，会有

\(w(a+k,c+1)+w(a+k+1,c)\geq w(a+k,c)+w(a+k+1,c+1)\)

同理\(a+k+1<c\)，有

\(w(a+k+1,c+1)+w(a+k+2,c)\geq w(a+k+1,c)+w(a+k+2,c+1)\)

两式相加有

\(w(a+k,c+1)+w(a+k+2,c)\geq w(a+k,c)+w(a+k+2,c+1)\)

于是由数学归纳法有

\(a<b\leq c,w(a,c+1)+w(b.c)\geq w(a,c)+w(b,c+1)\)

发现\(a=b\)式子仍成立，于是即

\(a\leq b\leq c,w(a,c+1)+w(b,c)\geq w(a,c)+w(b,c+1)\)

同理，对于

\(a\leq b\leq c+k\)，有

\(w(a,c+k+1)+w(b,c+k)\geq w(a,c+k)+w(b,c+k+1)\)

至于\(a\leq b\leq c+k+1\)

\(w(a,c+k+2)+w(b,c+k+1)\geq w(a,c+k+1)+w(b,c+k+2)\)

两式相加有

\(w(a,c+k+2)+w(b,c+k)\leq w(a,c+k)+w(b,c+k+2)\)

由数学归纳法有

\(a\leq b\leq c<d,w(a,d)+w(b,c)\leq w(a,c)+w(b,d)\)

发现当\(c=d\)时满足条件，于是

\[a\leq b\leq c\leq d,w(a,d)+w(b,c)\leq w(a,c)+w(b,d)\]

得证

一维线性递推优化

优化式

\(f_i=\min_{0\leq j<i}\{f_j+w(j,i)\},w\)满足四边形不等式

性质

一维递推决策递增定理

证明：

设\(k,k'\)为\(f_i\)的决策点并满足条件\(0\leq k'<k<i<i'\)

不难得知

\(f_i=f_k+w(k,i)\leq f_{k'}+w(k',i)\)

由四边形不等式得知

\(w(k',i')+w(k,i)\geq w(k',i)+w(k,i')\)

两式相加有

\(f_k+w(k,i')\leq f_{k'}+w(k',i')\)

于是易知决策点\(k\)比\(k'\)更优，故得证。

推论：如果一个决策点a比它之前的一个决策点b优秀，则决策点b不可能成为以后的最优决策点。

实现

目前要求\(f_i\)

1. 单调队列维护三元组\((l,r,p)\)，表示\(f_{l-r}\)的最优决策点目前最优是p
2. 队头是否合法，即\(r\leq p\),否则弹出
3. 取队头计算\(f_i\)，队头l++
4. 从队尾向前枚举，如果计算\(f_l\)的已有决策点不如现在的i优秀，弹出
5. 如果队列还有元素，二分查找\(l-r\)中第一个可以让决策点i更优秀的位置
6. 更改队尾r，把新的三元组代表i的决策加入队列（注意，如果不能加入，剔除）

二维区间递推优化

优化式

\(f[l][r]=\min_{l\leq k<r}\{f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]\}\)

包含单调

如果二元函数w满足\(a\leq b\leq c\leq d,w(a,d)\geq w(b,c)\)，则称二元函数w满足包含单调。

区间递推判定定理

定义

对于递推方程，\(f[l][r]=\min_{l\leq k<r}\{f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]\}\)，如果满足

1. 二元函数w满足四边形不等式
2. 二元函数w满足包含单调
3. 边界\(w(i,j)=f[i][i]=0\)，非法状态为无限大

则f满足四边形不等式。

证明

对于\(j-i=1\)而言，有

\(f[i][j]=f[i][i]+f[j][j]+w[i][j]=w[i][j]\)，恒满足四边形不等式

对于\(j-i=2\)，有

• \(f[i][j]\)的最优决策点为i

\(f[i][j]=f[i][i]+f[i+1][j]+w[i][j]=f[i+1][j]+w[i][j]=w[i+1][j]+\)
\(w[i][j]\geq w[i+1][j]+w[i][j-1]=f[i+1][j]+f[i][j-1]\)

于是有

\(i<j-1,f[i][j]+f[i+1][j-1]\geq f[i][j-1]+f[i+1][j]\)

满足四边形不等式

• \(f[i][j]\)的最优决策点为i+1

\(f[i][j]=f[i][i+1]+f[j][j]+w[i][j]=f[i][i+1]+w[i][j]=w[i][i+1]+\)
\(w[i][j]\geq w[i][i+1]+w[i+1][j]=f[i][i+1]+f[i+1][j]\)

因此有

\(i<j-1,f[i][j]+f[i+1][j-1]\geq f[i][i+1]+f[i+1][j]\)
\(=f[i][j-1]+f[i+1][j]\)

也满足四边形不等式

再对于\(j-i=l\)，设\(j-i<l\)恒满足四边形不等式

首先由四边形不等式已知

设x，y分别为\(f[i][j+1],f[i+1][j]\)的最优决策点，不妨设\(x\leq y<j\)，不难得知有

\(i<j,w[i][j+1]+w[i+1][j]\geq w[i][j]+w[i+1][j+1]\)
\(x+1\leq y+1\leq j<j+1,f[x+1][j+1]+f[y+1][j]\)
\(\geq f[x+1][j]+f[y+1][j+1]\)

两式相加有

\(f[x+1][j+1]+w[i][j+1]+f[y+1][j]+w[i+1][j]\)
\(\geq f[x+1][j]+w[i][j]+f[y+1][j+1]+w[i+1][j+1]\)

即

\(f[i][x]+f[x+1][j+1]+w[i][j+1]+f[i+1][y]+f[y+1][j]+w[i+1][j]\)
\(\geq f[i][x]+f[x+1][j]+w[i][j]+f[i+1][y]+f[y+1][j+1]+w[i+1][j+1]\)

注意到左式即\(f[i][j+1]+f[i+1][j]\)的转移式，但是取得是最优决策，而右式为\(f[i][j],f[i+1][j+1]\)的转移式，但是不一定是最优决策，甚至可能不合法，因此有

\(f[i][x]+f[x+1][j+1]+w[i][j+1]+f[i+1][y]+f[y+1][j]+w[i+1][j]\)
$=f[i][j+1]+f[i+1][j]\geq $
$f[i][x]+f[x+1][j]+w[i][j]+f[i+1][y]+f[y+1][j+1]+w[i+1][j+1]\geq $
\(f[i][j]+f[i+1][j+1]\)

所以

\(i<j,f[i][j+1]+f[i+1][j]\geq f[i][j]+f[i+1][j+1]\)

因此当\(j-i=l\)时，满足四边形不等式,当\(x>y\)，同理易证,所以由数学归纳法易知，f满足四边形不等式。

区间递推决策递增定理

定义

\(f[l][r]=\min_{l\leq k<r}\{f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]\}\)中，如果f满足四边形不等式，则设\(p[l][r]\)为\(f[l][r]\)的最优决策点，有\(p[l][r-1]\leq p[l][r]\leq p[l+1][r]\)。

证明

• \(p[l][r-1]\leq p[l][r]\)

设左式最优决策点\(k\)，并设\(l\leq k'<k<r-1\)，所以我们有

$f[l][r-1]=f[l][k]+f[k+1][r-1]+w[l][r-1]\leq $
\(f[l][k']+f[k'+1][r-1]+w[l][r-1]\)

即\(f[l][k]+f[k+1][r-1]\leq f[l][k']+f[k'+1][r-1].....1\)

由四边形不等式有

\(l< k'+1<k+1\leq r-1<r\)

\(f[k'+1][r]+f[k+1][r-1]\geq f[k'+1][r-1]+f[k+1][r].....2\)

1，2式相加，有

\(f[l][k]+f[k+1][r]\leq f[l][k']+f[k'+1][r]\)

即

\(f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]\leq f[l][k']+f[k'+1][r]+w[l][r]\)

所以易知决策点k比\(k'\)优秀，得证

• \(p[l][r]\leq p[l+1][r]\)

设右式的最优决策点为\(k\),设\(l\leq k'<k<r\)

于是有

\(f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]\leq f[l][k']+f[k'+1][r]+w[l][r]\)

即

\(f[l][k]+f[k+1][r]\leq f[l][k']+f[k'+1][r]...1\)

由四边形不等式有

1. \(k'==l\)，恒满足条件

2. 设\(l<l+1\leq k'<k\)

\(f[l][k]+f[l+1][k']\geq f[l][k']+f[l+1][k]...2\)

1,2式相加有

\(f[l+1][k]+f[k+1][r]\leq f[l+1][k']+f[k'+1][r]\)

即

\(f[l+1][k]+f[k+1][r]+w[l+1][r]\leq f[l+1][k']+f[k'+1][r]+w[l+1][r]\)

易知，决策点\(k\)比\(k'\)优秀。

于是得证

• 总上所素，有\(p[l][r-1]\leq p[l][r]\leq p[l+1][r]\)。

时间复杂度

根据区间递推决策递增定理，我们知道时间复杂度应该为\(O(\sum_{i=2}^n\sum_{l=1}^{n-i+1}(p[l+1][l+i-1]-p[l][l+i-2]+1))=\)
\(O(\sum_{i=2}^n(p[2][i]+p[3][i+1]+...+p[n-i][n])-(p[1][i-1]+p[2][i]+...+p[n-i-1][n-1])+n-i+1))\)
\(=O(\sum_{i=2}^n(p[n-i][n]-p[1][i-1]+n-i+1))=O(n^2)\)

梳理

经典模型

石子合并

问题

有n堆石子从左至右排成一排，第i堆石子重量\(w[i]\)，每次可以选择相邻的两堆石子合并，新的石子重量为原来两堆之和，消耗体力值为新的石子的重量，询问最少消耗的体力之和。

解

首先注意到这是区间问题，于是可以设\(f[l][r]\)表示合并第l堆石子到第r堆石子消耗的最少体力值，于是有\(f[l][r]=\min_{k=l}^{r-1}\{f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]\}\)，时间复杂度\(O(n^3)\)。

考虑到区间递推可以四边形不等式优化，发现w满足四边形不等式，且取到等号，也满足包含递增关系，边界可以开为0，因此可以使用四边形不等式优化成\(O(n^2)\)。

四边形不等式

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