标签：problem mat == htm 一个 html lcm 没有 最小
https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1363
求\(\sum\limits_{i=1}^{n}lcm(i,n)\)
先换成gcd：
\(\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i*n}{gcd(i,n)}\)
显而易见，枚举g：
$ n * \sum\limits_{g|n} \frac{1}{g} \sum\limits_{i=1}^{n} i*[gcd(i,n)==g] $
提g，没有下整符号：
$ n * \sum\limits_{g|n} \frac{1}{g} \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{g}} i*[gcd(i,\frac{n}{g})==1] $
考虑子问题：
$\sum\limits_{i=1}^{n} i*[gcd(i,n)==1] $
也就是n以内和n互质的数的和。
显然可以枚举因数d把他们减掉：
$\sum\limits_{i=1}^{n} i + \sum\limits_{d|n,d!=1}\mu(d)(d+2d+3d+...+n) $
显然前面那堆等于 \(d==1\) 的结果。
$\sum\limits_{d|n}\mu(d)(d+2d+3d+...+n) $
比如求36的互质数的和时，6在枚举2和枚举3的时候算重，要加回去，4在枚举2的时候算过，不用算。
化简：
$ \sum\limits_{d|n}\mu(d)d(1+2+3+...+\frac{n}{d}) $
$\sum\limits_{d|n}\mu(d)d\frac{(1+\frac{n}{d})*\frac{n}{d}}{2} $
即：
$\frac{n}{2}\sum\limits_{d|n}\mu(d)(1+\frac{n}{d}) $
里面分配率：
$\frac{n}{2}(\sum\limits_{d|n}\mu(d)+\sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}) $
然后一换：
\(\frac{n}{2}([n==1]+\varphi(n) )\)
求这个东西的复杂度很显然，预处理因子的欧拉函数是根号的，求单个n的欧拉函数也是根号的，所以整个式子就是根号的。
记这个子问题为 \(p(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} i*[gcd(i,n)==1] = \frac{n}{2}([n==1]+\varphi(n) )\)，求解它的复杂度就来源于欧拉函数
回到$ n * \sum\limits_{g|n} \frac{1}{g} p(\frac{n}{g}) $
非常明显根号以内的欧拉函数可以重复利用，然后单独求一个最大的。
总体复杂度是根号的。理论上根号是过不了的，1.7e8左右，但是看别人搞什么质因数分解？这个不也是最坏根号的吗？我觉得他们能行我也能行。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Yinku/p/10987912.html
