递推（二）：递推法的应用

      设有一个共有n级的台阶，某人上台阶一步可上1级，也可上2级。编写一个程序，输入台阶的级数n（n<=40），输出某人从底层上到台阶顶层的走法的种数。

      （1）编程思路。

      先考虑最简单的情况。如果只有1级台阶，那显然只有一种上法。如果有2级台阶，那就有两种上的方法了：一种是分两次上，每次上1级；另外一种就是一次上2级。

      再来讨论一般情况。设把n级台阶时的上法看成是n的函数，记为f(n)。

      当n>2时，第一次上的时候就有两种不同的选择：一是第一次只上1级，此时上法数目等于后面剩下的n-1级台阶的上法数目，即为f(n-1)；另外一种选择是第一次上2级，此时上法数目等于后面剩下的n-2级台阶的上法数目，即为f(n-2)。因此n级台阶时的不同上法的总数f(n)=f(n-1)+(f-2)。

      由此推导出递推公式 f(n)=f(n-1)+(f-2)  （n>2）

      初始情况：f(1)=1; f(2)=2。

      （2）源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

    int k,n,f[41];

    cout<<"请输入台阶总数n:";

    cin>>n;

    f[1]=1;f[2]=2; 

    for(k=3;k<=n;k++)

     f[k]=f[k-1]+f[k-2];      // 按递推关系实施递推 

    cout<<"上法总数为 "<<f[n]<<endl;

    return 0;

}

      （3）扩展1。

      设一个台阶有n级，一步有m种跨法，一步跨多少级均从键盘输入（输入的级数从小到大）。求从底层上到台阶顶层的走法的种数。

      （4）扩展1的编程思路。

      例如，设有10级台阶，输入的m依次为2、4、7。递推式可写成

       f(n)=f(n-2)+f(n-4)+f(n-7)  （n>=8）。但由于事先不知输入的是2、4、7，所以递推初始情况f(1)~f(7)无法直接赋初值，也就无法用一个这个单纯的递推式直接递推。必须先采用某种方法根据输入的m个一步上的台阶数将初始条件求取出来。

      实际上，可以将上台阶的递推分成多级递推，这样初始条件可在分级递推中求取。

当第1次输入2时，f(1)=0，f(2)=1。（初始条件）

当第2次输入4时，第1级递推：

f(3)=f(3-2)=0，  f(4)=f(4-2)+1=2。（因为4本身即为一个一步到位的上法）

当第3次输入7时，第2级递推：

f(5)=f(5-2)+f(5-4)=0，f(6)=f(6-2)+f(6-4)=3，f(7)=f(7-2)+f(7-4)+1=1。

为求第10级台阶上法，采用三级递推：

f(8)=f(8-2)+f(8-4)+f(8-7)=5，f(9)=f(9-2)+f(9-4)+f(9-7)=2，

f(10)=f(10-2)+f(10-4)+f(10-7)=8。

下面探讨一般情况。

      设上n级台阶的不同上法为f(n)，从键盘输入一步跨多少级的m个整数分别为x(1)、x(2)、…、x(m)，输入时约定1<=x(1) <x(2) <…<x(m)。

当1<=n<x(1) 时，f(n)=0；      f(x(1))=1。（初始条件）

当x(1)<n<x(2) 时，第1级递推：f(n)=f(n−x(1))；

  f(x(2))=f(n-x(1))+1 （存在x2这个一步到位的上法）。

当x(2)<n<x(3) 时，第2级递推：f(n)=f(n−x(1))+f(n−x(2))；

  f(x(3))=f(n-x(1))+ f(n−x(2)) +1 （存在x3这个一步到位的上法）。

……

当x(m-1)<n<x(m)，有第m-1级递推：f(n)=f(n−x(1))+f(n−x(2))+…+f(n−x(m-1))；

f(x(m))=f(n−x(1))+f(n−x(2))+…+f(n-x(m-1))+1。

当x(m)<n时，第m级递推： f(n)=f(n−x(1))+f(n−x(2))+…+f(n−x(m))

为了便于统一处理，不妨附设一个x(m+1)，使得x(m+1)=max(x(m),n)+1。

这样第m级递推统一描述为：

       当x(m)<n<x(m+1) 时，第m级递推： f(n)=f(n−x(1))+f(n−x(2))+…+f(n−x(m))

          f(x(m+1))= f(n−x(1))+f(n−x(2))+…+f(n−x(m))+1。

      （5）扩展1的源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

       int i,j,k,m,n,t,x[10],f[51];

    cout<<"请输入总台阶数:";

    cin>>n;

    cout<<"一次有几种跳法:";

    cin>>m;

    cout<<"请从小到大输入一步跳几级。"<<endl;

    for(i=1; i<=m; i++)    

        cin>>x[i];

    for(i=1;i<x[1];i++)   f[i]=0;  

    f[x[1]]=1;

    x[m+1]=(x[m]>n?x[m]:n)+1;

       for(k=1;k<=m;k++)

        for(t=x[k]+1;t<=x[k+1];t++)

              {

                     f[t]=0;

            for(j=1;j<=k;j++)             // 按公式累加实现分级递推 

               f[t]=f[t]+f[t-x[j]];

            if(t==x[k+1])             

               f[t]=f[t]+1;

              }

       cout<<"共有不同的跳法种数为 "<<f[n]<<endl;

       return 0;

}

      （6）扩展2。

      例3中的递推式实际上就是斐波那契数列的递推式。这个数列的增长很快，46项以后就会超过整型数据的表数范围。现设台阶有1000级，按一步可上1级，也可上2级的上法，不同的上法种数是一个209位的整数，如何正确求得这个种数。

    （7）扩展2的编程思路。

      由于要求的数据超过了整数表示的范围，需要进行高精度计算。

      如何表示和存放大数呢？一个简单的方法就是：用数组存放和表示大数。一个数组元素，存放大数中的一位。

      我们日常书写一个大整数，左侧为其高位，右侧为其低位，在计算中往往会因进位（carry）或借位（borrow）导致高位增长或减少，因此可以定义一个整型数组（int bignum[maxlen]）从低位向高位实现大整数的存储，数组的每个元素存储大整数中的一位。

      显然，在C++中，int类型（4个字节/32位计算机）数组元素存储十进制的一位数字非常浪费空间，并且运算量也非常大，因此可将存储优化为万进制，即数组的每个元素存储大整数数字的四位。（为什么选择万进制，而不选择更大的进制呢？这是因为万进制中的最大值9999相乘时得到的值是99980001，不会超过4个字节的存储范围，而十万进制中的最大值99999相乘时得到的值是9999800001，超过4个字节的存储范围而溢出，从而导致程序计算错误。）

      在编写程序代码过程中作如下定义：

const int base=10000;

const int maxlen=50+1;

int bignum[maxlen];

      说明：base表示进制为万进制，maxlen表示大整数的长度，1个元素能存储4个十进制位，50个元素就存储200个十进制位，而加1表示下标为0的元素另有它用，程序用作存储当前大整数的位数。

      下面讨论大整数的加法运算的实现。

      可以采用小学中曾学习的竖式加法。两个大整数98240567043826400046和3079472005483080794进行加法运算，如图2所示。

 

图2  加法的计算过程

      从图2中可以得知，做加法运算是从低位向高位进行，如果有进位，下一位进行相加时要加上进位，如果最高位已计算完还有进位，就要增加存储结果的位数，保存起进位来。关于进位的处理，一般定义单独变量carry进行存储。

      （8）扩展2的源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

const int base=10000;

const int maxlen=60+1;

void addition(int *bignum1, int *bignum2, int *bignum_ans);

void printbignum(int *bignum);

int main()

{

    int k,n,f[1001][maxlen];

    cout<<"请输入台阶总数n:";

    cin>>n;

    f[1][0]=1;  f[1][1]=1;

       f[2][0]=1;  f[2][1]=2;

    for(k=3;k<=n;k++)

      addition(f[k-1],f[k-2],f[k]);      // 按递推关系实施递推 

    cout<<"上法总数为 ";

       printbignum(f[n]);

    return 0;

}

void addition(int *bignum1, int *bignum2, int *bignum_ans)

{

       int carry=0;

    memset(bignum_ans,0,sizeof(int)*maxlen);

       bignum_ans[0]=bignum1[0]>bignum2[0]?bignum1[0]:bignum2[0];

       for(int pos=1; pos<=bignum_ans[0]; pos++){

              carry+=bignum1[pos]+bignum2[pos];

              bignum_ans[pos]=carry%base;

              carry/=base;

       }

       if(carry)

              bignum_ans[++bignum_ans[0]]=carry;

}

void printbignum(int *bignum)

{

       int *p=*bignum+bignum;

       cout<<*p--;

       cout.fill(‘0‘);        // 定义填充字符‘0‘

       while(p>bignum){ cout.width(4); cout<<*p--; }

       cout<<endl;

}

      如果要求2000级台阶的不同上法种数（是一个418位的整数），上面的程序如何修改？如果求5000级甚至10000级的台阶呢？请读者自己动手做一做。在修改过程中，定义的二维数组造成栈溢出怎么办？

      （9）扩展3——第39级台阶。

      小明刚刚看完电影《第39级台阶》，离开电影院的时候，他数了数礼堂前的台阶数，恰好是39级! 站在台阶前，他突然又想着一个问题：

       如果我每一步只能迈上1个或2个台阶。先迈左脚，然后左右交替，最后一步是迈右脚，也就是说一共要走偶数步。那么，上完39级台阶，有多少种不同的上法呢？

       （10）扩展3的编程思路。

       由于在上台阶的过程中需要考虑不同的迈脚情况，因此需要定义二维数组c[40][2]，数组元素c[i][0]表示上到第i级台阶时最后一步是左脚的方法数，c[i][1] 表示上到第i级台阶时最后一步是右脚的方法数。

由于每一步能上一级或两级台阶，因此可得递推式：

c[i][0] = c[i-1][1]+c[i-2][1] （因为最后一步为左脚，倒数第二步肯定为右脚）

c[i][1] = c[i-1][0]+c[i-2][0] （因为最后一步为右脚，倒数第二步肯定为左脚）

初始情况为：

c[1][0]=1，第一步左脚直接迈一级台阶。

c[1][1]=0，因为先迈左脚，右脚不可能落在第1级台阶。

c[2][0]=1，第一步左脚直接迈两级台阶。

c[2][1]=1，左右脚各迈一级台阶，右脚正好落在第2级台阶。

（11）扩展3的源程序。

#include<iostream>

using namespace std;

int main()

{

    int i;

    int c[40][2];

    c[1][1] = 0;   c[1][0]=1;

    c[2][1] = 1;   c[2][0]=1;

    for(i = 3; i <= 39; ++i)

       {

        c[i][0] = c[i - 1][1] + c[i - 2][1];

        c[i][1] = c[i - 1][0] + c[i - 2][0];

    }

    cout<<c[39][1]<<endl;

    return 0;

}

     

       例2和例3采用的都是顺推，下面看一个采用倒推求解的实例。

      【例4】猴子吃桃

      有一个猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半后又多吃一个。到第10天早上想再吃时，见只剩下一个桃子了。

求第一天共摘了多少个桃子？

（1）编程思路。

设x[n]表示第n天吃桃子前的桃子数，则有x[10]=1。

由于， x[i]=x[i-1]-x[i-1]/2-1，

因此，递推关系式为： x[i-1]=2*(x[i]+1)。倒推求得x[1]就是猴子所摘的桃子数。

（2）源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

int  main()

{

    int a[11],i;

       a[10]=1;

       for (i=9;i>=1;i--)

              a[i]=2*(a[i+1]+1);

       cout<<a[1]<<endl;

    return  0;

}

      （3）问题扩展。

      有一猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了m个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了m个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半后又多吃m个。到第n天早上想再吃时，见只剩下d个桃子了。

      求第一天共摘了多少个桃子（m，n，d均由键盘输入，且1<=n,m,d<=20）？

      （4）扩展问题的源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

int  main()

{

    int i,m,n,d;

    cin>>n>>m>>d;

       int *a;

       a=new int [n+1];

       a[n]=d;

       for (i=n-1;i>=1;i--)

              a[i]=2*(a[i+1]+m);

       cout<<a[1]<<endl;

    return  0;

}

 【例5】过河卒

      如图3，在棋盘的A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如图4-4的C点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。例如，图4-4中C点上的马可以控制9个点（图中的P1，P2，…，P8 和C）。卒不能通过对方马的控制点。

       棋盘用坐标表示，A点（0，0）、B点（n,m）（n，m为不超过50的整数，并由键盘输入），同样马的位置坐标通过键盘输入，并约定C<>A，同时C<>B。

       编写程序，计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。

       例如，输入6  6  3  2，输出为17。

 

图3  棋盘上的过河卒和对方的控制马

（1）编程思路。

      在棋盘的A点（0，0）的过河卒要到达棋盘上的任意一点，只能从左边和上边两个方向过来。因此，要到达某一点的路径数，等于和它相邻的左、上两个点的路径数和：

        F[i][j] = F[i-1][j] + F[i][j-1]。

      可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起始顶点到终点的路径数目，即使有障碍（将马的控制点称为障碍），这一递推方法也完全适用，只要将到达该点的路径数目设置为0即可，用F[i][j]表示到达点（i，j）的路径数目，g[i][j]表示点（i，j）有无障碍，递推方程如下：

F[0][0] = 1     初始点直接可达。

F[i][0] = F[i-1][0]   （i > 0，g[i][0] =0）     // 左边界

F[0][j] = F[0][j-1]   （j > 0，g[0][j] = 0）    // 上边界

F[i][j] = F[i-1][j] + F[i][j-1]   （i > 0，j > 0，g[x, y] = 0） // 递推式

（2）源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

int main() 

{ 

    int i,j,x,y,n,m,forbidden[51][51]; 

    int ans[51][51]; 

    int dx[8]={-2,-1,1,2,2,1,-1,-2};

       int dy[8]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};

    cin>>n>>m>>x>>y; 

    for (i=0;i<=n;i++)

              for (j=0;j<=m;j++)

        {

                     forbidden[i][j]=0;

            ans[i][j]=0;

              }

    ans[0][0]=1; 

    forbidden[x][y]=1;

       for (i=0;i<8; i++)

        if (x+dx[i]>=0 && x+dx[i]<=n && y+dy[i]>=0 && y+dy[i]<=m)

                 forbidden[x+dx[i]][y+dy[i]]=1;

       for (i=1; i<=n; i++) 

        if (forbidden[i][0]==0) 

            ans[i][0]=1; 

        else break; 

    for (i=1; i<=m; i++) 

        if (forbidden[0][i]==0) 

            ans[0][i]=1; 

        else break; 

    for (i=1; i<=n; i++) 

        for (j=1; j<=m; j++) 

            if (forbidden[i][j]==0) 

                ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]; 

    cout<<ans[n][m]<<endl;

    return 0; 

} 

【例6】学生队列。

There are many students in PHT School. One day, the headmaster whose name is PigHeader wanted all students stand in a line. He prescribed that girl can not be in single. In other words, either no girl in the queue or more than one girl stands side by side.

The case n=4 (n is the number of children) is like FFFF, FFFM, MFFF, FFMM, MFFM, MMFF, MMMM Here F stands for a girl and M stands for a boy. The total number of queue satisfied the headmaster’s needs is 7.

Can you make a program to find the total number of queue with n children?

      （1）编程思路。

      设满足要求的n个学生的队列数为F(n)表示。

      简单枚举n较小的情况为：F(0)=1 （没有人也是合法的，这个可以特殊处理，就像0的阶乘定义为1一样）； 

        F(1)=1（一个男生M）；F(2)=2；（两个男生MM或两个女生FF）；F(3)=4（MMM、MFF、FFM或FFF）。

      当人数n大于3时，n个学生排队可以看成是由n-1个学生排好队后再加一个学生。按最后加的学生的性别分两种情况：

      1）当加的最后一个学生是男孩M时候，前面n-1个随便排出来，只要符合要求就可以，即方案数为F（n-1）。

      2）当加的最后一个学生是女孩F时候，第n-1个学生肯定是女孩F，这时候又有两种情况：

      ① 前面n-2个学生按满足要求的方法排好队，后面加两个女生一定也满足要求，此时方案数为F（n-2）。

      ② 前面n-2个人不是满足要求的队列，加上两个女生也有可能是合法的。当第n-2个学生是女孩而第n-3个学生是男孩时，后面加上两个女孩可能合法。此时前n-4个学生的队列必须满足要求，即方案数为F（n-4）。

      综上所述：总数F（n）= F（n-1）+ F（n-2）+ F（n-4）。

      （2）源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

    int i,n,f[31];

    f[0]=1; f[1]=1; f[2]=2; f[3]=4; 

    for(i=4;i<=30;i++)

       f[i]=f[i-1]+f[i-2]+f[i-4];      // 按递推关系实施递推 

    while (cin>>n && n!=-1)

       {

              cout<<f[n]<<endl;

       }

    return 0;

}

【例7】栈

      栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

      栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

      栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。晶晶宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而她自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

      晶晶考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图4-5所示为1到3的情况），栈A的深度大于n。

现在可以进行两种操作，

1）将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）。

2）将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）。

      使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列。设栈的原始状态如图4所示，由123生成序列231的过程如图5所示。

 

图4  栈的原始状态

 

图5  采用栈生成序列231的过程

      请编写程序，对输入的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过栈操作可能得到的输出序列的总数。

      （1）编程思路。

       先模拟入栈、出栈操作，看看能否找出规律，设f(n)表示n个数通过栈操作后的排列总数，当n很小时，很容易模拟出f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5。通过观察，看不出它们之间的递推关系，再分析n=4的情况，假设入栈前的排列为“4123”，按第一个数“4”在出栈后的位置进行分情况讨论：

      1）若“4”最先输出，刚好与n=3相同，总数为f(3)。

      2）若“4”第二个输出，则在“4”的前只能是“1”，“23”在“4”的后面，这时可以分别看作是n=1和n=2时的两种情况，排列数分别为f(1)和f(2)，所以此时的总数为f(1)*f(2)。

      3）若“4”第三个输出，则“4”的前面二个数为“12”，后面一个数为“3”，组成的排列总数为f(2)*f(1)。

      4）若“4”第四个输出，与情况（1）相同，总数为f(3)。

     所以有：f(4)=f(3)+f(1)*f(2)+f(2)*f(1)+f(3)。

      若设0个数通过栈后的排列总数为：f(0)=1；

      上式可变为：f(4)=f(0)*f(3)+f(1)*f(2)+f(2)*f(1)+f(3)*f(0)。

再进一步推导，不难推出递推式：

f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+…+f(n-1)*f(0);

即f(n)=      (n>=1)

初始值：f(0)=1;

有了以上递推式，就很容易用递推法写出程序。

（2）源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

int  main()

{

    int a[19]={0},n,i,j;

       cin>>n;

       a[0]=1;

       for (i=1;i<=n;i++)

              for (j=0;j<=i-1;j++)

                     a[i]=a[i]+a[j]*a[i-j-1];

       cout<<a[n]<<endl;

    return  0;

}

      （3）用公式直接求解。

      实际上，一个栈的入栈序列为1，2，3，…，n，其不同的出栈序列的种数是一个卡特兰数。

      卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。该数列如下：

C₀＝1，C₁＝1，C₂＝2，C₃＝5，C₄＝14，C₅＝42，C₆＝132，C₇＝429，C₈＝1430，

C₉＝4862，C₁₀＝16796，C₁₁＝58786，C₁₂＝208012，……。

卡塔兰数的一般项公式为：

 

        Cn的另一个表达形式为：

 

 

下面简要描述一下这个公式的推导情况。

      对于1~n中的每一个数来说，必须入栈一次、出栈一次。设入栈为状态“1”，出栈为状态“0”。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1~n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a（a≤b），因此输出序列的总数目等于由左至右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

      在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c（2n，n），不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左至右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

      不符合要求的数的特征是由左至右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2（n-m）-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如果把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。 即不符合要求的方案数为c（2n，n+1）。

       由此得出，输出序列的总数目= c（2n，n）-c（2n，n+1）=c（2n，n）/（n+1）。

      （4）采用公式直接求解的源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

int combin(int n,int m)   // 求组合数C（n,m）

{

       int p=1,i,t;

    t=n;

       for (i=1;i<=m;i++)

       {

        p=p*t/i;

              t--;

       }

       return p;

}

int main() 

{ 

    int n; 

    cin>>n; 

    cout<<combin(2*n,n)/(n+1)<<endl;

    return 0; 

} 

 

【例8】整数划分问题

      正整数s（简称为和数）的划分（又称拆分）是把s分成为若干个正整数（简称为零数或部分）之和，划分式中允许零数重复，且不记零数的次序。

      试求s=12共有多少个不同的划分式？展示出所有这些划分式。

（1）编程思路。

整数划分问题可采用多种方法解决，下面我们采用递推的法来完成。

为了建立递推关系，先对和数k较小时的划分式作观察归纳：

k=2：1+1；2    2种划分式

k=3：1+1+1；1+2；3      3种划分式

k=4：1+1+1+1；1+1+2；1+3；2+2；4     5种划分式

k=5：1+1+1+1+1；1+1+1+2；1+1+3；1+2+2；1+4；2+3；5    7种划分式

      由以上各划分看到，除和数本身k=k这一特殊划分式外，其它每一个划分式至少为两项之和。约定在所有划分式中零数作非降序排列，探索和数k的划分式与和数k−1的划分式存在以下递推关系：

      1）在所有和数k−1的划分式前加零数1都是和数k的划分式。

      2）和数k−1的划分式的前两个零数作比较，如果第1个零数x1小于第2个零数x2，则把第1个零数加1后成为和数k的划分式。

定义一个三维数组a，a[k][j][i]表示为和数k的第j个划分式的第i个数。

递推的初始条件为：a[2][1][1]=1； a[2][1][2]=1； a[2][2][1]=2。

根据递推关系，实施递推：

1）实施在k−1所有划分式前加1操作。

a[k][j][1]=1;

for (t=2;t<=k;t++)         

        a[k][j][t]=a[k−1][j][t−1];          //  k−1的第t−1项变为k的第t项

2）若k−1划分式第1项小于第2项，第1项加1，变为k的第i个划分式

       if(a[k-1][j][1]<a[k-1][j][2])  // 若k-1划分式第1项小于第2项 

         { i++;                     // 第1项加1为k的第i个划分式的第1项 

          a[k][i][1]=a[k-1][j][1]+1;    

          for(t=2;t<=k-1;t++)

             a[k][i][t]=a[k-1][j][t];

          }

（2）源程序及运行结果。

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

int main()

{

       int s,i,j,k,t,cnt;

    static int a[21][800][21]={0};

    cout<<"input s(s<=20):";

       cin>>s;

    a[2][1][1]=1; a[2][1][2]=1; a[2][2][1]=2;

    cnt=2;

    for(k=3;k<=s;k++)

    {

              for(j=1;j<=cnt;j++)

        {

                     a[k][j][1]=1;          

            for(t=2;t<=k;t++)    // 实施在k-1所有划分式前加1操作 

               a[k][j][t]=a[k-1][j][t-1];    

        }

        for(i=cnt,j=1;j<=cnt;j++)

           if(a[k-1][j][1]<a[k-1][j][2])  // 若k-1划分式第1项小于第2项 

                 {

                        i++;              // 第1项加1为k的第i个划分式的第1项 

               a[k][i][1]=a[k-1][j][1]+1;    

               for(t=2;t<=k-1;t++)

                  a[k][i][t]=a[k-1][j][t];

           }

        i++;   a[k][i][1]=k;    // k的最后一个划分式为：k=k 

        cnt=i;

       }

    for(j=1;j<=cnt;j++)        // 输出s的所有划分式 

    {

              cout<<setw(4)<<j<<": "<<s<<"="<<a[s][j][1];

        i=2;

        while (a[s][j][i]>0)

        {

                     cout<<"+"<<a[s][j][i];

                     i++;

              }

        cout<<endl;

       }

    return 0;

}

      （3）整数划分的优化。

      上面递推算法的时间复杂度与空间复杂度为O(n²u)，其中u为n划分式的个数。由于u随n增加非常快，难以估算其数量级，因此算法的时间复杂度与空间复杂度是很高的。

      下面我们对整数划分进行集智。

      分析上面使用三维数组a[k][j][i]完成的递推过程。当由k−1的划分式推出k的划分式时，k−1以前的数组单元已完全闲置。因此，可以考虑把三维数组a[k][j][i]改进为二维数组a[j][i]。进行和数为k的递推前，数组元素a[j][i]表示和数是k−1的已有划分式。根据递推关系推出和数为k的划分式：

       1）把a[j][i]依次存储到a[j][i+1]，加上第一项a[j][1]=1；这样完成在k−1的所有划分式前加1的操作，转化为k的划分式。

for(t=i;t>=1;t−−)

       a[j][t+1]=a[j][t];

a[j][1]=1;

       2）对已转化的cnt个划分式逐个检验，若其第2个数小于第3个数（相当于k−1时的第1个数小于第2个数），则把第2个数加1，去除第一个数后，作为k时增加的一个划分式，为第t个（t从cnt开始，每增加一个划分式，t增1）划分式。

for(t=u,j=1;j<=u;j++)

  if(a(j,2)<a(j,3))     // 若k−1划分式第1项小于第2项 

    {t++;

     a(t,1)=a(j,2)+1;  // 第1项加1 作为k的第t个划分式的第1项

     i=3;

     while(a(j,i)>0)

        {a(t,i−1)=a(j,i);i++;}

     }   

      （4）优化后的源程序。

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

int main()

{

       int s,i,j,k,t,cnt;

    static int a[1600][25]={0};

    cout<<"input s(s<=24):";

    cin>>s;

    a[1][1]=1;a[1][2]=1;a[2][1]=2;

       cnt=2;

    for(k=3;k<=s;k++)

    {

              for(j=1;j<=cnt;j++)

        {

                     i=k-1;          

            for(t=i;t>=1;t--)         // 实施在k-1所有划分式前加1操作 

              a[j][t+1]=a[j][t];

            a[j][1]=1;

              }

        for(t=cnt,j=1;j<=cnt;j++)

          if(a[j][2]<a[j][3])   // 若k-1划分式第1项小于第2项 

                {

                       t++;

              a[t][1]=a[j][2]+1;   // 第1项加1 

              i=3;

              while(a[j][i]>0)

              {

                              a[t][i-1]=a[j][i];

                              i++;

                       }

                }

        t++;  a[t][1]=k;             // 最后一个划分式为：k=k 

        cnt=t;

       }

    for(j=1;j<=cnt;j++)        // 输出s的所有划分式 

    {

              cout<<setw(4)<<j<<": "<<s<<"="<<a[j][1];

        i=2;

        while (a[j][i]>0)

        {

                     cout<<"+"<<a[j][i];

                     i++;

              }

        cout<<endl;

       }

    return 0;

}

      改进的递推程序把原有的三维数组优化为二维数组，降低了算法的空间复杂度，拓展了算法的求解范围。

      但是，由于划分式的数量cnt随和数s增加得相当迅速。例如，和数为24时有1575种划分。因此尽管改进为二维数组，求解的和数s也不可能太大。