标签：basic while pop tom i+1 理解 最短路径问题 最短路 方法
有n个区间，在区间[ai，bi]中至少取任意互不相同的ci个整数。求在满足n个区间的情况下，至少要取多少个正整数。
多组数据。
第一行的一个整数T表示数据个数。对于每组数据,第一行包含一个整数n(1<=n<=50000)表示区间数。以下n行描述区间。输入的第(i+1)行包含三个整数ai，bi，ci，由空格分开。其中0<=ai<=bi<=50000，1<=ci<=bi-ai+1。
对于每组数据，输出一个对于n个区间[ai，bi] 至少取ci个不同整数的数的总个数。
1
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 16
解析：
这是一道差分约束的模板题，写完这一题之后可以更好地理解差分约束。
【差分约束系统】
差分约束系统是一种特殊的N元一次不等式组。它包含N个变量X1~XN以及M个约束条件，每个约束条件都是由两个变量作差构成的，形如Xi-Xj<=ck，其中ck是常数。我们要解决的问题是：求X的一组解，使得所有约束条件得到满足。
实际上，最短路径问题和最长路径问题都是某种程度上的差分约束系统，对于差分约束系统中的每个条件Xi-Xj>=ck我们可以变形为Xi<=Xj+ck。而单源最短/长路实际上是求了一个差分约束系统的最优解（最小/大的符合条件的情况）。
也就是说，对于一个无向图，我们得到的所有可达点之间的每一条简单路径，都是这个“路径”的差分约束系统的一组解（这个系统几乎没有约束条件）。如果我们要求某一个差分约束系统的最优解，就相当于在一张图上求解最短/长路。
为了便于理解，我们可以将求解最短/长路径的方法看做是求解差分约束的一种工具，将差分约束系统的条件变形作三角形不等式进行求解。
我们看回这道题目，我们会发现题意与差分约束系统十分相似。
假设s[k]为0~k之间最少取到的互不相同（隐藏条件）的整数，根据题意，我们容易得到s[bi]-s[ai-1]>=ci。
特别的，差分约束系统的题目总是有一些隐藏条件，这些条件我们也必须加入到差分约束系统中去，使得这些条件也成立。
本题中，隐藏条件有：
但是我们尴尬的发现他们不等号的方向不一致，没事，我们转化一下就好了。
条件1可以变为s[k-1]-s[k]>=-1。
注意一个问题：
如果Xi-Xj的约束条件是<=号，则我们要求的是最短路；
如果约束条件是>=号，则我们要求的是最长路（根据三角形不等式得出）。
首先，我们把0~k（此处的k为最大的那个bi）按照隐藏约束条件初始化，也就是，从每个k-1连一条长0的有向边至k，从每个k连一条长-1的边至k-1。
然后按照输入，依次加入ai-1 -> bi的长度为ci的有向边。
值得注意的是，这里数组下标不能为负数，那我们就给他加成正的，以0为初始阶段点开始，求最长路。
最优解便是d[k]了。
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<queue> 6 #include<algorithm> 7 #define N 100010 8 using namespace std; 9 queue<int> q; 10 struct node{ 11 int next,ver,edge; 12 }g[N<<1]; 13 int head[N],tot,d[N],n; 14 bool v[N<<1]; 15 void add(int x,int y,int val) 16 { 17 g[++tot].ver=y,g[tot].edge=val; 18 g[tot].next=head[x],head[x]=tot; 19 } 20 void spfa(int x) 21 { 22 memset(d,-1,sizeof(d)); 23 memset(v,0,sizeof(v)); 24 d[x]=0;v[x]=1; 25 q.push(x); 26 while(q.size()) 27 { 28 int index=q.front();q.pop(); 29 v[index]=0; 30 for(int i=head[index];i;i=g[i].next){ 31 int y=g[i].ver,z=g[i].edge; 32 if(d[y]<d[index]+z){ 33 d[y]=d[index]+z; 34 if(!v[y]) v[y]=1,q.push(y); 35 } 36 } 37 } 38 } 39 int main() 40 { 41 int t; 42 cin>>t; 43 for(int k=1;k<=t;k++) 44 { 45 tot=0; 46 memset(g,0,sizeof(g)); 47 memset(head,0,sizeof(head)); 48 int cnt=-N; 49 scanf("%d",&n); 50 51 for(int i=1;i<=n;i++) 52 { 53 int x,y,c; 54 scanf("%d%d%d",&x,&y,&c); 55 add(x,y+1,c); 56 cnt=max(cnt,y); 57 } 58 for(int i=1;i<=cnt+1;i++){ 59 add(i-1,i,0),add(i,i-1,-1); 60 } 61 spfa(0); 62 if(k<t) printf("%d\n",d[cnt+1]); 63 else printf("%d",d[cnt+1]); 64 } 65 return 0; 66 }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/DarkValkyrie/p/11022797.html
