机器学习周志华——学习器性能度量

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衡量模型泛化能力的评价标准，就是性能度量（performance measure）。

（1）错误率与精度

（2）查准率、查全率与F1

基于样例真实类别，可将学习器预测类别的组合划分为真正例（true positive）、假正例（false positive）、真反例（true negative）、假反例（false negative）,TP、FP、TN、FN分别表示其对应的样例数，则有TP+FP+TN+FN=样例总数。

查准率P与查全率R分别定义为：

P= TP/（TP+FP）=>正例结果中真正例数/正例结果总数

R= TP/（TP+FN）=>正例结果中真正例数/结果中所有真正例数

查准率高时，查全率往往偏低，查全率高时，查准率往往偏低（例如选西瓜例子，希望查全率高则应尽可能将所有瓜都选上，但这样查准率必然更低，若希望查准率高则应尽可能挑最有把握的瓜，但这样必然会漏掉一些好瓜，使查全率低）。通常只有在一些简单任务中，才可能使查全率和查准率都很高。

通常按学习器预测结果为正例可能的大小对样例排序，即排在前面的是学习器认变“最可能”是正例的样本，排在最后的则是学习器认为“最不可能”的正例样本。从上到下逐个把样本作为正例进行预测，每次均计算出当前的查全率、查准率，以查准率为纵轴、查全率为横轴作图，得到查准率-查全率曲线P-R曲线，简称P-R图。

若一个学习器的P-R曲线被另一个学习器曲线完全包住，可断言后者性能优于前者。对于两曲线交叉的情况，人们设计了一些综合考虑查准率、查全率的性能度量。“平衡点”（Break-Event Point，简称BEP）就是这样一个度量，它是查准率=查全率的取值，考虑BEP过于简化了，更常用的是F1度量：

F1=2×P×R/（P+R）=2×TP/（样例总数+TP-TN）

真实应用中，对查准率和查全率的重视程度有所不同，例如商品推荐系统更强调查准率，而逃犯检索中，更希望少漏掉逃犯，查全率更重要。F1度量的一般形式——F_β，能表达出对查准率/查全率的不同偏好：

F_β=（1+β²）×P×R/（（β²×P）+R）

β>0度量了查全率对查准率的相对重要性，β=1时退化为标准的F1，β>1时查全率有更大影响，β<1时查准率有更大影响。

当希望在n个二分类混淆矩阵上综合才考察查准率和查全率时，一种做法：先计算出各混淆矩阵的查准率和查全率，记为(P₁,R₁),(P₂,R₂),…,(P_n,R_n)，再计算平均值，得到“宏查准率”（macro-P）、“宏查全率”（macro-R）,以及相应的“宏F1”(macro-F1):

还可将各混淆矩阵的对应元素平均，再得到TP、FP、TN、FN的平均值，再基于这些值计算出“微查准率”（micro-P）、“微查全率”（micro-R）和“微F1”（micro-F1）:

(3) ROC和AUC

将针对测试样本的实值或概率预测，将预测值与阈值比较，大于阈值分为正类，否则为反类，根据这个实值或概率预测结果，可将测试样本排序，最可能的正例排在最前面，最不可能的正例排在最后面，分类过程相当于在排序中以某个“截断点（cut point）将样本分为两部分，前一部分作为正例，后一部分则判作反例。根据不同任务来选择截断点，排序本身的质量好坏，体现了综合考虑学习器在不同任务下的”期望泛化性能“的好坏。ROC曲线则是从这个角度出发来研究学习器泛化性能的有力工具。

ROC（受试者工作特征，Receiver Operating Characteristic），与P-R曲线创建方式相似，根据预测结果的排序，逐个把样本作为正例进行预测，每次计算出“真正例率”（True Positive Rate,TPR），和“假正例率”（False Positive Rate,简称FPR），分别作为横轴和纵轴。

TPR=TP/(TP+FN)     =>正例结果中真正例/所有结果中真正例

FPR=FP/(TN+FP)     =>正例结果中假正例/所有结果中真负例

从ROC图中，可见点（0，1）对应于将所有正例排在所有反例之前的“理想模型”，对角线对应于“随机猜测”模型。绘图过程：给定m⁺个正例和m^-个反例（二者数目不一定一样），根据预测结果对样例排序，先把分类阈值设为最大，即所有样例预测为反例，此时真正例率和假正例率均为0，在坐标（0，0）处标记一个点，然后，将分类阈值依次设为每个样例的预测值，即从上至下依次逐个将样例划入正例范围。设前一个标记点坐标为（x,y），当前若为真正例，则对应标记点的坐标为（x,y+1/m⁺）；当前若为假正例，则对应标记点的坐标为（x+1/m^-,y），然后连接所有相邻点即可。

比较学习器时：若一个学习器的ROC曲线被另一个学习器曲线完全“包住”，则后者性能优于前者；若两学习曲线交叉，判据是ROC曲线下的面积即AUC。AUC可通过ROC曲线下各部分面积求和而得，假定ROC曲线由坐标点{(x₁,y₁),(x₂,y_x),…,(x_m,y_m)}按序连接形成，且（x₁=0,x_m=1），则AUC估算为：

形式上，AUC考虑的是样本预测的排序质量，它与排序误差有紧密联系。给定m⁺个正例和m^-个反例，令D⁺和D^-分别表示正反例集合，排序“损失”定义为：

即考虑任一一对正反例，若正例预测值小于反例，则记1个“罚分”，若相等，则记0.5个“罚分”。AUC=1-该值。

（4）代价敏感错误率与代价曲线

为权衡不同类型错误所造成的不同损失，可为错误赋予“非均等代价”（unequal cost）。例如：

在非均等代价下，希望的不再是简单地最小化错误次数，而是希望最小化“总体代价”（total cost）。表2的二分类问题，其“代价敏感”错误率为：

还可给出基于分布定义的代价敏感错误率，及其他一些性能度量如精度的代价敏感版本，若令cost_ij中的i、j取值不限于0、1，则可定义出多分类任务的代价敏感性能度量。“代价曲线”（cost curve），横轴是取值为[0,1]的正例概率代价：

其中p是样例为正例的概率，纵轴是取值为[0,1]的归一化代价：

其中FPR是假正例率，FNR=1-TPR是假反例率。

代价曲线的绘制：具体参见P36.

（4）比较检验

学习性能比较时存在的问题：首先，比较的是泛化性能而非测试集性能，其次，与测试集的选择相关，第三，学习算法本身的随机性。

统计假设检验(hypothesis test)为学习器性能比较提供了依据。若在测试集上观察到学习器A比B好，则A的泛化性能是否在统计意义上优于B，以及此结论把握有多大。

①假设检验

假设是对学习器泛化错误率分布的某种判断或猜想，例如?=?₀。现实任务中只能获知测试错误率?(^)，泛化错误率与测试错误率未必相同，但二者接近的可能性较大，相关很大的可能性较小，因此，可根据测试错误率估推出泛化错误率的分布。

对于泛化错误率为?的学习器，将其中m’个样本误分类、其样本正确分类的概率是? ^m’(1- ?)^m-m’，由此可算出恰好将?(^)×m个样本误分类的概率如下所示（也即表示泛化错误率为?的学习器被测得错误率为?(^)的概率）：

上式对?对偏导，可知其概率在?=?(^)时最大，|?-?(^)|增大时P减小。这个概率符合二项分布。

可使用“二项检验”(binomial test)对?≤0.3（即泛化错误率是否不大于0.3）这样的假设进行检验，更一般地，考虑假设?≤?₀， 则在1-α的概率（反映了结论的置信度）内所能观察到的最大错误率如下式计算：

（个人理解：预测错误概率<α的情况下，泛化错误率?的最大值？）

若测试错误率?(^)小于临界值，根据二项检验可得结论：在α显著度下，假设?≤?₀不能被拒绝，也即是能以1-α的置信度认为，学习器的泛化错误率不大于?_0。

机器学习周志华——学习器性能度量

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