【JOISC2019|2019】【20190622】cake3

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题目

\(N\) 个物品中选\(M\)个，排列成一个环:\(k_1,\cdots,k_M\)价值为：
\[ \sum_{j=1}^{N}{V_i} - \sum_{j=1}^{M}|C_{k_j}- C_{k_{j\%M+1} }| \]
$3 \le N,M \le 2\times 10^5 $

题解

• 对于一个\(k\)，\(C\)最小的排列的贡献是\(2\ ( max - min)\)

• 因为将 $ k $ 按 $ C $ 排序，由于最终是一个环， $ C_{k_j} - C_{k_{j+1}} $ 一定会被至少经过两次

• 将物品按\(C\)排序，枚举最大点，枚举最小点，中间选\(V\)最大的

• 可以发现从左向右枚举右端点，最小值的选择是单调的

• 但是单调可能是不连续的，接下来有一个套路：

• 计算\([l,r]\)的值时，可以先找\(mid = (l + r) /2\) 的最优决策点\(pos_{mid}\)

• 那么\(pos_{[l,mid-1]} \le pos_{mid} \ , \ pos_{[mid+1,r]} \ge pos_{mid}\) ，分治求下去

• 需要查找区间前\(m-2\)大的和，如果用主席树实现

• 时间复杂度：\(O(N \log^2 N )\)

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define inf 1e18
  
  using namespace std;
  
  const int N=200010,M=20;
  int n,m,st[N],tp,sub[N],tot,sz,cnt[N*M],ls[N*M],rs[N*M],rt[N];
  ll sum[N*M],a[N],b[N],ans=-inf;
  struct data{int x,y;}A[N];
  bool operator <(data X,data Y){return X.y<Y.y;}
  
  void ins(int&k,int lst,int l,int r,int x,int y){
    sum[k=++sz]=sum[lst]+y;cnt[k]=cnt[lst]+1;
    ls[k]=ls[lst],rs[k]=rs[lst];
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid)ins(ls[k],ls[lst],l,mid,x,y);
    else ins(rs[k],rs[lst],mid+1,r,x,y);
  }
  
  ll query(int k,int lst,int l,int r,int x){
    if(l==r||!x)return 1ll*sub[l]*x;
    int mid=(l+r)>>1,tmp=cnt[rs[k]]-cnt[rs[lst]];
    if(x<tmp)return query(rs[k],rs[lst],mid+1,r,x);
    return sum[rs[k]]-sum[rs[lst]]+query(ls[k],ls[lst],l,mid,x-tmp);
  }
  
  ll cal(int l,int r){
    if(r-l+1<m)return -inf;
    return a[l]+b[r]+query(rt[r-1],rt[l],1,tot,m-2);
  }
  
  void solve(int L,int R,int l,int r){
    if(L>R)return;
    if(l==r){for(int i=L;i<=R;++i)ans=max(ans,cal(st[l],i));}
    int Mid=(L+R)>>1,mid=l;ll tmp=-inf;
    for(int i=l;i<=r;++i){
        ll now=cal(st[i],Mid);
        if(tmp<now)tmp=now,mid=i;
    }
    ans=max(ans,tmp);
    solve(L,Mid-1,l,mid);
    solve(Mid+1,R,mid,r);
  }
  
  int main(){
    freopen("cake3.in","r",stdin);
    freopen("cake3.out","w",stdout);
  
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d%d",&A[i].x,&A[i].y);
        sub[++tot]=A[i].x;
    }
  
    sort(sub+1,sub+tot+1);
    tot=unique(sub+1,sub+tot+1)-sub-1;
    sort(A+1,A+n+1);
  
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int pos=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,A[i].x)-sub;
        ins(rt[i],rt[i-1],1,tot,pos,A[i].x);
  
        a[i]=A[i].x+2ll*A[i].y;
        b[i]=A[i].x-2ll*A[i].y;
        if(!tp||a[i]>a[st[tp]])st[++tp]=i;
    }
    solve(m,n,1,tp);
    /*ll ans=cal(1,m);
    for(int i=m,j=1;i<=n;++i){
        while(j<tp&&st[j+1]+m-1<=i&&cal(st[j],i)<cal(st[j+1],i))j++;
        ans=max(ans,cal(st[j],i));
        for(int k=1;k<=tp&&st[k]+m-1<=i;++k){
            printf("%lld ",cal(st[k],i));
        }
        puts("");
    }*/
    //这段是不对的，因为并不是所有单调都是连续的
    //像斜率优化的那种可以用单调队列维护的只是单调的一种特殊情况
    //不单调可以用分治做
    //20190623
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
  }
  

【JOISC2019|2019】【20190622】cake3

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