机器学习中的数学基础

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线性代数

下面分别概括了向量、矩阵、运算、范数、特征向量和特征值的概念。

向量

未做说明情况下的向量指的是列向量。一个\(n\)维向量\(\boldsymbol{x}\)的表达式可写成

\[ \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \ x_{2} \ \vdots \ x_{n} \end{bmatrix}, \]

其中\(x_1, \ldots, x_n\)是向量的元素。我们将各元素均为实数的\(n\)维向量\(\boldsymbol{x}\)记作\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}\)或\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}\)。

矩阵

一个\(m\)行\(n\)列矩阵的表达式可写成

\[ \boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn} \end{bmatrix}, \]

其中\(x_{ij}\)是矩阵\(\boldsymbol{X}\)中第\(i\)行第\(j\)列的元素（\(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\)）。我们将各元素均为实数的\(m\)行\(n\)列矩阵\(\boldsymbol{X}\)记作\(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)。不难发现，向量是特殊的矩阵。

运算

设\(n\)维向量\(\boldsymbol{a}\)中的元素为\(a_1, \ldots, a_n\)，\(n\)维向量\(\boldsymbol{b}\)中的元素为\(b_1, \ldots, b_n\)。向量\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)的点乘（内积）是一个标量：

\[\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n.\]

设两个\(m\)行\(n\)列矩阵

\[ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{bmatrix}. \]

矩阵\(\boldsymbol{A}\)的转置是一个\(n\)行\(m\)列矩阵，它的每一行其实是原矩阵的每一列：
\[ \boldsymbol{A}^\top = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}. \]

两个相同形状的矩阵的加法是将两个矩阵按元素做加法：

\[ \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1n} + b_{1n} \ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2n} + b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}. \]

我们使用符号\(\odot\)表示两个矩阵按元素做乘法的运算：

\[ \boldsymbol{A} \odot \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \dots & a_{1n} b_{1n} \ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \dots & a_{2n} b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \dots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}. \]

定义一个标量\(k\)。标量与矩阵的乘法也是按元素做乘法的运算：

\[ k\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \dots & ka_{1n} \ ka_{21} & ka_{22} & \dots & ka_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ ka_{m1} & ka_{m2} & \dots & ka_{mn} \end{bmatrix}. \]

其他诸如标量与矩阵按元素相加、相除等运算与上式中的相乘运算类似。矩阵按元素开根号、取对数等运算也就是对矩阵每个元素开根号、取对数等，并得到和原矩阵形状相同的矩阵。

矩阵乘法和按元素的乘法不同。设\(\boldsymbol{A}\)为\(m\)行\(p\)列的矩阵，\(\boldsymbol{B}\)为\(p\)行\(n\)列的矩阵。两个矩阵相乘的结果

\[ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1p} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2p} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ip} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1j} & \dots & b_{1n} \ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2j} & \dots & b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \ b_{p1} & b_{p2} & \dots & b_{pj} & \dots & b_{pn} \end{bmatrix} \]

是一个\(m\)行\(n\)列的矩阵，其中第\(i\)行第\(j\)列（\(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\)）的元素为

\[a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{ip}b_{pj} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}. \]

范数

设\(n\)维向量\(\boldsymbol{x}\)中的元素为\(x_1, \ldots, x_n\)。向量\(\boldsymbol{x}\)的\(L_p\)范数为

\[\|\boldsymbol{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i \right|^p \right)^{1/p}.\]

例如，\(\boldsymbol{x}\)的\(L_1\)范数是该向量元素绝对值之和：

\[\|\boldsymbol{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|.\]

而\(\boldsymbol{x}\)的\(L_2\)范数是该向量元素平方和的平方根：

\[\|\boldsymbol{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.\]

我们通常用\(\|\boldsymbol{x}\|\)指代\(\|\boldsymbol{x}\|_2\)。

设\(\boldsymbol{X}\)是一个\(m\)行\(n\)列矩阵。矩阵\(\boldsymbol{X}\)的Frobenius范数为该矩阵元素平方和的平方根：

\[\|\boldsymbol{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2},\]

其中\(x_{ij}\)为矩阵\(\boldsymbol{X}\)在第\(i\)行第\(j\)列的元素。

特征向量和特征值

对于一个\(n\)行\(n\)列的矩阵\(\boldsymbol{A}\)，假设有标量\(\lambda\)和非零的\(n\)维向量\(\boldsymbol{v}\)使

\[\boldsymbol{A} \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v},\]

那么\(\boldsymbol{v}\)是矩阵\(\boldsymbol{A}\)的一个特征向量，标量\(\lambda\)是\(\boldsymbol{v}\)对应的特征值。

微分

我们在这里简要介绍微分的一些基本概念和演算。

导数和微分

假设函数\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)的输入和输出都是标量。函数\(f\)的导数

\[f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h},\]

且假定该极限存在。给定\(y = f(x)\)，其中\(x\)和\(y\)分别是函数\(f\)的自变量和因变量。以下有关导数和微分的表达式等价：

\[f'(x) = y' = \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}f}{\text{d}x} = \frac{\text{d}}{\text{d}x} f(x) = \text{D}f(x) = \text{D}_x f(x),\]

其中符号\(\text{D}\)和\(\text{d}/\text{d}x\)也叫微分运算符。常见的微分演算有\(\text{D}C = 0\)（\(C\)为常数）、\(\text{D}x^n = nx^{n-1}\)（\(n\)为常数）、\(\text{D}e^x = e^x\)、\(\text{D}\ln(x) = 1/x\)等。

如果函数\(f\)和\(g\)都可导，设\(C\)为常数，那么

\[ \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x} [Cf(x)] &= C \frac{\text{d}}{\text{d}x} f(x),\\frac{\text{d}}{\text{d}x} [f(x) + g(x)] &= \frac{\text{d}}{\text{d}x} f(x) + \frac{\text{d}}{\text{d}x} g(x),\\ \frac{\text{d}}{\text{d}x} [f(x)g(x)] &= f(x) \frac{\text{d}}{\text{d}x} [g(x)] + g(x) \frac{\text{d}}{\text{d}x} [f(x)],\\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] &= \frac{g(x) \frac{\text{d}}{\text{d}x} [f(x)] - f(x) \frac{\text{d}}{\text{d}x} [g(x)]}{[g(x)]^2}. \end{aligned} \]

如果\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)都是可导函数，依据链式法则，

\[\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}y}{\text{d}u} \frac{\text{d}u}{\text{d}x}.\]

泰勒展开

函数\(f\)的泰勒展开式是

\[f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,\]

其中\(f^{(n)}\)为函数\(f\)的\(n\)阶导数（求\(n\)次导数），\(n!\)为\(n\)的阶乘。假设\(\epsilon\)是一个足够小的数，如果将上式中\(x\)和\(a\)分别替换成\(x+\epsilon\)和\(x\)，可以得到

\[f(x + \epsilon) \approx f(x) + f'(x) \epsilon + \mathcal{O}(\epsilon^2).\]

由于\(\epsilon\)足够小，上式也可以简化成

\[f(x + \epsilon) \approx f(x) + f'(x) \epsilon.\]

偏导数

设\(u\)为一个有\(n\)个自变量的函数，\(u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\)，它有关第\(i\)个变量\(x_i\)的偏导数为

\[ \frac{\partial u}{\partial x_i} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}.\]

以下有关偏导数的表达式等价：

\[\frac{\partial u}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = \text{D}_i f = \text{D}_{x_i} f.\]

为了计算\(\partial u/\partial x_i\)，只需将\(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n\)视为常数并求\(u\)有关\(x_i\)的导数。

梯度

假设函数\(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)的输入是一个\(n\)维向量\(\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top\)，输出是标量。函数\(f(\boldsymbol{x})\)有关\(\boldsymbol{x}\)的梯度是一个由\(n\)个偏导数组成的向量：

\[\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top.\]

为表示简洁，我们有时用\(\nabla f(\boldsymbol{x})\)代替\(\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x})\)。

假设\(\boldsymbol{x}\)是一个向量，常见的梯度演算包括

\[ \begin{aligned} \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{A}, \\nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{A} &= \boldsymbol{A}, \\nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} &= (\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^\top)\boldsymbol{x},\\nabla_{\boldsymbol{x}} \|\boldsymbol{x} \|^2 &= \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{x} = 2\boldsymbol{x}. \end{aligned} \]

类似地，假设\(\boldsymbol{X}\)是一个矩阵，那么
\[\nabla_{\boldsymbol{X}} \|\boldsymbol{X} \|_F^2 = 2\boldsymbol{X}.\]

海森矩阵

假设函数\(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)的输入是一个\(n\)维向量\(\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top\)，输出是标量。假定函数\(f\)所有的二阶偏导数都存在，\(f\)的海森矩阵\(\boldsymbol{H}\)是一个\(n\)行\(n\)列的矩阵：

\[ \boldsymbol{H} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}, \]

其中二阶偏导数

\[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial }{\partial x_j} \left(\frac{\partial f}{ \partial x_i}\right).\]

概率

最后，我们简要介绍条件概率、期望和均匀分布。

条件概率

假设事件\(A\)和事件\(B\)的概率分别为\(P(A)\)和\(P(B)\)，两个事件同时发生的概率记作\(P(A \cap B)\)或\(P(A, B)\)。给定事件\(B\)，事件\(A\)的条件概率

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\]

也就是说，

\[P(A \cap B) = P(B) P(A \mid B) = P(A) P(B \mid A).\]

当满足

\[P(A \cap B) = P(A) P(B)\]

时，事件\(A\)和事件\(B\)相互独立。

期望

离散的随机变量\(X\)的期望（或平均值）为

\[E(X) = \sum_{x} x P(X = x).\]

均匀分布

假设随机变量\(X\)服从\([a, b]\)上的均匀分布，即\(X \sim U(a, b)\)。随机变量\(X\)取\(a\)和\(b\)之间任意一个数的概率相等。

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