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毒瘤题

弄模数弄了我一天，结果少模了一个地方

做法

我们要求：\[(\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n i\times j\times gcd(i,j))mod\ p\]

我们先不管后面的模\(p\)，考虑前面枚举\(gcd(i,j)\)：\[\sum\limits_{d=1}^n d \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n i\times j\ [gcd(i,j)=d]\]

套路的除\(d\)：\[\sum\limits_{d=1}^n d^3 \sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor} \sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor} i\times j\ [gcd(i,j)=1]\]

后面显然用莫比乌斯反演，我们用性质来变换：\[\sum\limits_{d=1}^n d^3 \sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor} \sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor} i\times j \sum\limits_{k|gcd(i,j)} \mu (k)\]

套路的枚举\(k\)：

\[\sum\limits_{d=1}^n d \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor} \mu (k) \sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor} \sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor} i\times j\ [k|gcd(i,j)]\]

除\(k\)把后面去掉：\[\sum\limits_{d=1}^n d^3 \sum\limits_{k=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor} \mu (k) k^2\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{dk} \right\rfloor} \sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{dk} \right\rfloor} i\times j\]

我们用\(T=dk\)带入：\[\sum\limits_{T=1}^n \sum\limits_{d|T} d^3 \mu (\frac{T}{d}) {(\frac{T}{d})}^2\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor} \sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor} i\times j\]

前面的\(d^3\)可以和\({(\frac{T}{d})}^2\)消去分母：\[\sum\limits_{T=1}^n \sum\limits_{d|T} d \mu (\frac{T}{d}) T^2\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor} \sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor} i\times j\]

换个位置：\[\sum\limits_{T=1}^n T^2 \sum\limits_{d|T} d \mu (\frac{T}{d}) \sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor} \sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor} i\times j\]

我们设函数\(S\)：\[S(n)=(\sum\limits_{i=1}^n i)^2\]

那么原式可化为：\[\sum\limits_{T=1}^n T^2 \sum\limits_{d|T} d \mu (\frac{T}{d}) S(\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor)\]

因为\(φ=id\times \mu\)，所以：\[\sum\limits_{T=1}^n T^2 φ(T)\ S(\left\lfloor \frac{n}{T} \right\rfloor)\]

P3768 简单的数学题

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原文地址：https://www.cnblogs.com/yexinqwq/p/11130260.html