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地精部落:dp

时间:2019-07-04 12:53:44      阅读:88      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:组合数   计数   line   gif   mod   +=   sum   公式   esc   

Description

传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段,每段有一个独一无二的高度 Hi,其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。 类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低,则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮 流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道,长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i,使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行,两个正整数 N, P。

Output

仅含一行,一个非负整数,表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

Hint

 

技术图片
对于 20%的数据,满足 N≤10;
对于 40%的数据,满足 N≤18;
对于 70%的数据,满足 N≤550;
对于 100%的数据,满足 3≤N≤4200,P≤10910^910?9??

101810^{18}10?18??,1<=q<=10510^510?5??

为什么这是组合数呢?

有两种方法,都是n2,一种需要组合数,另一种不需要。

我因为算错数了,推式子的时候排除了这两种方法。。。最后才捡回来

Solution 1

设dp[i][j][st]表示目前你构成的山长度为i,以相对高度为j的山结尾,末端下降和上扬的状态分别以st的0,1表示。

想不出怎么递推?打表啊!

技术图片技术图片

dp[1][1][]太特殊会被算2遍,不考虑。

发现两个表貌似只是上下倒置了,打出一个就可以。以st=1的表为例。

找规律(嘤嘤嘤我找了3天呢):dp[i][j]=∑k=1->jdp[i-1][i-k]

式子的含义是什么呢?假如我们想要长度为i,最后一座山在这i个高度的高度排名为第j。

我们把最后一座山拿走,那么如果倒数第二座山的高度比最后一座高,那么它的排名-1。否则不变。

因为趋势需要上扬,dp[i][j][0]+=dp[i-1][k][1];k<j

再考虑到倒置的问题就得到了那个式子。

技术图片
 1 #include<cstdio>
 2 int mod,n,dp[2][4222],ans;
 3 inline int modd(int p){return p>=mod?p-mod:p;}
 4 int main(){
 5     dp[0][2]=1;
 6     scanf("%d%d",&n,&mod);
 7     for(int i=3;i<=n;++i)for(int j=1;j<=i;++j)dp[i&1][j]=modd(dp[i&1][j-1]+dp[i&1^1][i-j+1]);
 8     for(int j=1;j<=n;++j)ans=modd(ans+dp[n&1][j]);
 9     printf("%d",modd(ans<<1));
10 }
317字节

Solution 2考虑假如你已经造出了两座山,现在需要合并它们。

考虑到所有情况,将不同的数分给两座山的情况用组合数计算。

这是可实现的,和排列计数类似,但是我没有实现,就不多说了。

公式什么的看代码吧。

技术图片
 1 #include<cstdio>
 2 int C[2][4202],dp[4202][2];
 3 int main(){
 4     int n,p,now=0;
 5     scanf("%d%d",&n,&p);
 6     dp[0][0]=dp[0][1]=C[1][0]=C[1][1]=dp[1][0]=dp[1][1]=1;
 7     for(int i=2;i<=n;i++,now^=1){
 8         C[now][0]=1;C[now][i]=1;
 9         for(int j=0;j<i;j++){
10             if(j) C[now][j]=(C[now^1][j]+C[now^1][j-1])%p;
11             dp[i][(i-j-1)%2]=(dp[i][(i-j-1)%2]+1ll*dp[j][1]*dp[i-j-1][(i-j-1)%2]%p*C[now^1][j]%p)%p;
12         }
13     }
14     printf("%d",(dp[n][0]+dp[n][1])%p);
15 }
来自奶牛mikufun

地精部落:dp

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原文地址:https://www.cnblogs.com/hzoi-DeepinC/p/11131712.html

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