标签：习题 sum min 竞赛 复数 rac 2017年 参考 max
1.设$x,y,z$是三个复数,定义\[d(x, y)=\frac{|x-y|}{\sqrt{\left(1+|x|^{2}\right)\left(1+|y|^{2}\right)}}.\]求证:\[d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y).\]
2.设$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$是正实数,求证:\[\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{\frac{k}{k+1}} \leq \sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sqrt{\frac{2\left(\pi^{2}-3\right)}{9} \sum_{k=1}^{n} a_{k}}.\]
3.设$a_i>0,b_i>0$,其中$i=1,\cdots,n$.记$A=\frac{\max a_{k}}{\min a_{k}}, B=\frac{\max b_{k}}{\min b_{k}}$和$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, p>1$.求证:
\[\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{p}\right)^{1 / p}\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{q}\right)^{1 / q} \leq \frac{1}{p^{1 / p}} \frac{1}{q^{1 / q}} \frac{A^{p} B^{q}-1}{\left(B A^{p}-A\right)^{1 / q}\left(A B^{q}-B\right)^{1 / p}} \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}.\]
4.设$a_i>0$,求证:
\[\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}} \leq\left(2-\frac{7 \ln 2}{8 \ln n}\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}}.\]
参考:王永喜《2017年集训队讲义》
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/11153034.html
