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在集成学习之Adaboost算法原理小结中，我们对Boosting家族的Adaboost算法做了总结，本文就对Boosting家族中另一个重要的算法梯度提升树(Gradient Boosting Decison Tree, 以下简称GBDT)做一个总结。GBDT有很多简称，有GBT（Gradient Boosting Tree）,?GTB（Gradient Tree Boosting?），?GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)，其实都是指的同一种算法，本文统一简称GBDT。GBDT在BAT大厂中也有广泛的应用，假如要选择3个最重要的机器学习算法的话，个人认为GBDT应该占一席之地。
GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。
在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是\(f_{t-1}(x)\), 损失函数是\(L(y,?f_{t-1}(x))\), 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器\(h_t(x)\)，让本轮的损失函数\(L(y,?f_{t}(x) =L(y,?f_{t-1}(x)+ h_t(x))\)最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。
GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释，假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。
从上面的例子看这个思想还是蛮简单的，但是有个问题是这个损失的拟合不好度量，损失函数各种各样，怎么找到一种通用的拟合方法呢？
在上一节中，我们介绍了GBDT的基本思路，但是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为
\[
r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial?f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}
\]
利用\((x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)\),我们可以拟合一颗CART回归树，得到了第t颗回归树，其对应的叶节点区域\(R_{tj}, j =1,2,..., J\)。其中J为叶子节点的个数。
针对每一个叶子节点里的样本，我们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值\(c_{tj}\)如下：
\[
c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)
\]
这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下：
\[
h_t(x) = \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})
\]
从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下：
\[
f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})?
\]
通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法，这样无轮是分类问题还是回归问题，我们通过其损失函数的负梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。
好了，有了上面的思路，下面我们总结下GBDT的回归算法。为什么没有加上分类算法一起？那是因为分类算法的输出是不连续的类别值，需要一些处理才能使用负梯度，我们在下一节讲。
输入是训练集样本\(T=\{(x_,y_1),(x_2,y_2), ...(x_m,y_m)\}\)， 最大迭代次数T, 损失函数L。
输出是强学习器f(x)
1) 初始化弱学习器
\[
f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c)
\]
2) 对迭代轮数t=1,2,...T有：
a)对样本i=1,2，...m，计算负梯度
\[
r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial?f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}
\]
b)利用\((x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)\), 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为\(R_{tj}, j =1,2,..., J\)。其中J为回归树t的叶子节点的个数。
c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值
\[
c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)
\]
d) 更新强学习器
\[
f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})?
\]
3) 得到强学习器f(x)的表达式
\[
f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})
\]
这里我们再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，但是由于样本输出不是连续的值，而是离散的类别，导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。
为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法是用类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说，我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，我们又有二元分类和多元分类的区别。
对于二元GBDT，如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：
\[
L(y, f(x)) = log(1+ exp(-yf(x)))
\]
其中\(y \in\{-1, +1\}\)。则此时的负梯度误差为
\[
r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial?f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i)))
\]
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
\[
c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c)))
\]
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
\[
c_{tj} =?\sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg /??\sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|)
\]
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。
多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为：
\[
L(y, f(x)) = - ?\sum\limits_{k=1}^{K}y_klog\;p_k(x)?
\]
其中如果样本输出类别为k，则\(y_k=1\)。第k类的概率\(p_k(x)?\)的表达式为：
\[
p_k(x) = exp(f_k(x)) \bigg / \sum\limits_{l=1}^{K}?exp(f_l(x))?
\]
集合上两式，我们可以计算出第\(t\)轮的第\(i\)个样本对应类别\(l\)的负梯度误差为
\[
r_{til} =?-\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial?f(x_i)}\bigg]_{f_k(x) = f_{l, t-1}\;\; (x)} = y_{il} - p_{l, t-1}(x_i)
\]
观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本\(i\)对应类别\(l\)的真实概率和\(t-1\)轮预测概率的差值。
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
\[
c_{tjl} = \underbrace{arg\; min}_{c_{jl}}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K}?L(y_k, f_{t-1, l}(x) + \sum\limits_{j=0}^{J}c_{jl} I(x_i \in R_{tjl}))
\]
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
\[
c_{tjl} = ?\frac{K-1}{K} \; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}
\]
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。
这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。
对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:
a) 如果是指数损失函数，则损失函数表达式为
\[
L(y, f(x)) = exp(-yf(x))
\]
其负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合参见Adaboost原理篇。
b)?如果是对数损失函数，分为二元分类和多元分类两种，参见4.1节和4.2节。
对于回归算法，常用损失函数有如下4种:
a)均方差，这个是最常见的回归损失函数了
\[
L(y, f(x)) =(y-f(x))^2
\]
b)绝对损失，这个损失函数也很常见
\[
L(y, f(x)) =|y-f(x)|
\]
对应负梯度误差为：
\[
sign(y_i-f(x_i))
\]
c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：
\[ L(y, f(x))= \begin{cases} \frac{1}{2}(y-f(x))^2& {|y-f(x)| \leq \delta}\\delta(|y-f(x)| - \frac{\delta}{2})& {|y-f(x)| >; \delta} \end{cases} \]
对应的负梯度误差为：
\[ r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} y_i-f(x_i)& {|y_i-f(x_i)| \leq \delta}\\delta sign(y_i-f(x_i))& {|y_i-f(x_i)| >; \delta} \end{cases} \]
d) 分位数损失。它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为
\[
L(y, f(x)) =\sum\limits_{y \geq f(x)}\theta|y - f(x)| + \sum\limits_{y <; f(x)}(1-\theta)|y - f(x)|?
\]
其中\(\theta\)为分位数，需要我们在回归前指定。对应的负梯度误差为：
\[ r(y_i, f(x_i))= \begin{cases} \theta& { y_i \geq f(x_i)}\\theta - 1 & {y_i <; f(x_i) } \end{cases} \]
对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减少异常点对损失函数的影响。
和Adaboost一样，我们也需要对GBDT进行正则化，防止过拟合。GBDT的正则化主要有三种方式。
第一种是和Adaboost类似的正则化项，即步长(learning rate)。定义为\(\nu\),对于前面的弱学习器的迭代
\[
f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + h_k(x)
\]
如果我们加上了正则化项，则有
\[
f_{k}(x) = f_{k-1}(x) + \nu h_k(x)
\]
\(\nu\)的取值范围为$0 <; \nu \leq 1 \(。对于同样的训练集学习效果，较小的\)\nu$意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。
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第二种正则化的方式是通过子采样比例（subsample）。取值为(0,1]。注意这里的子采样和随机森林不一样，随机森林使用的是放回抽样，而这里是不放回抽样。如果取值为1，则全部样本都使用，等于没有使用子采样。如果取值小于1，则只有一部分样本会去做GBDT的决策树拟合。选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在[0.5, 0.8]之间。
使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样，程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程，最后形成新树，从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。
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第三种是对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。在决策树原理篇里我们已经讲过，这里就不重复了。
GBDT终于讲完了，GDBT本身并不复杂，不过要吃透的话需要对集成学习的原理，决策树原理和各种损失函树有一定的了解。由于GBDT的卓越性能，只要是研究机器学习都应该掌握这个算法，包括背后的原理和应用调参方法。目前GBDT的算法比较好的库是xgboost。当然scikit-learn也可以。
最后总结下GBDT的优缺点。
GBDT主要的优点有：
1) 可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。
2) 在相对少的调参时间情况下，预测的准确率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。
3）使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。
GBDT的主要缺点有：
1)由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。
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以上就是GBDT的原理总结，后面会讲GBDT的scikit-learn调参，敬请期待。
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