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在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态\(h^{(t)}\)。
如果我们略去每层都有的\(o^{(t)}, L^{(t)},?y^{(t)}\)，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：
图中可以很清晰看出在隐藏状态\(h^{(t)}\)由\(x^{(t)}\)和\(h^{(t-1)}\)得到。得到\(h^{(t)}\)后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的\(h^{(t+1)}\)。
由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：
可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，我也不是很熟悉，这里就不多说，重点回到LSTM的模型本身。
上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。
从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态\(h^{(t)}\)，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为\(C^{(t)}\)。如下图所示：
除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。
遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：
图中输入的有上一序列的隐藏状态\(h^{(t-1)}\)和本序列数据\(x^{(t)}\)，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出\(f^{(t)}\)。由于sigmoid的输出\(f^{(t)}\)在[0,1]之间，因此这里的输出f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：\[f^{(t)} = \sigma(W_fh^{(t-1)} +?U_fx^{(t)} + b_f)\]
其中\(W_f, U_f, b_f\)为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。\(\sigma\)为sigmoid激活函数。
输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：
从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为\(i^{(t)}\),第二部分使用了tanh激活函数，输出为\(a^{(t)}\), 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：\[i^{(t)} = \sigma(W_ih^{(t-1)} +?U_ix^{(t)} + b_i)\]\[a^{(t)} =tanh(W_ah^{(t-1)} +?U_ax^{(t)} + b_a)\]
其中\(W_i, U_i, b_i, W_a, U_a, b_a,\)为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。\(\sigma\)为sigmoid激活函数。
在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态\(C^{(t)}\)。我们来看看从细胞状态\(C^{(t-1)}\)如何得到\(C^{(t)}\)。如下图所示：
细胞状态\(C^{(t)}\)由两部分组成，第一部分是\(C^{(t-1)}\)和遗忘门输出\(f^{(t)}\)的乘积，第二部分是输入门的\(i^{(t)}\)和\(a^{(t)}\)的乘积，即：\[C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot?f^{(t)} +?i^{(t)}?\odot?a^{(t)}\]
其中，\(\odot\)为Hadamard积，在DNN中也用到过。
有了新的隐藏细胞状态\(C^{(t)}\)，我们就可以来看输出门了，子结构如下：
从图中可以看出，隐藏状态\(h^{(t)}\)的更新由两部分组成，第一部分是\(o^{(t)}\), 它由上一序列的隐藏状态\(h^{(t-1)}\)和本序列数据\(x^{(t)}\)，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态\(C^{(t)}\)和tanh激活函数组成, 即：\[o^{(t)} = \sigma(W_oh^{(t-1)} +?U_ox^{(t)} + b_o)\]\[h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})\]
通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。
现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态\(h^{(t)}, C^{(t)}\)，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了\(W_f, U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o\)这些参数。
前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：
1）更新遗忘门输出：\[f^{(t)} = \sigma(W_fh^{(t-1)} +?U_fx^{(t)} + b_f)\]
2）更新输入门两部分输出：\[i^{(t)} = \sigma(W_ih^{(t-1)} +?U_ix^{(t)} + b_i)\]\[a^{(t)} = tanh(W_ah^{(t-1)} +?U_ax^{(t)} + b_a)\]
3）更新细胞状态：\[C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot?f^{(t)} +?i^{(t)}?\odot?a^{(t)}\]
4）更新输出门输出：\[o^{(t)} = \sigma(W_oh^{(t-1)} +?U_ox^{(t)} + b_o)\]\[h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})\]
5）更新当前序列索引预测输出：\[\hat{y}^{(t)} = \sigma(Vh^{(t)} + c)\]
有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。
在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态\(h^{(t)}\)的梯度\(\delta^{(t)}\)一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态\(h^{(t)}\)和\(C^{(t)}\)。这里我们定义两个\(\delta\)，即：\[\delta_h^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}\]\[\delta_C^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial?C^{(t)}}\]
为了便于推导，我们将损失函数\(L(t)\)分成两块，一块是时刻\(t\)位置的损失\(l(t)\)，另一块是时刻\(t\)之后损失\(L(t+1)\)，即：\[L(t) = \begin{cases} l(t) + L(t+1) & \text{if} \, t <;?\tau \\ l(t) & \text{if} \, t = \tau\end{cases}\]
而在最后的序列索引位置\(\tau\)的\(\delta_h^{(\tau)}\)和?$\delta_C^{(\tau)} \(为：\)\(\delta_h^{(\tau)} =(\frac{\partial O^{(\tau)}}{\partial?h^{(\tau)}})^T\frac{\partial L^{(\tau)}}{\partial O^{(\tau)}}? = V^T(\hat{y}^{(\tau)} - y^{(\tau)})\)\[$\delta_C^{(\tau)} =(\frac{\partial h^{(\tau)}}{\partial?C^{(\tau)}})^T\frac{\partial L^{(\tau)}}{\partial h^{(\tau)}}? = \delta_h^{(\tau)} \odot ?o^{(\tau)} \odot (1 - tanh^2(C^{(\tau)}))\]
接着我们由\(\delta_C^{(t+1)},\delta_h^{(t+1)}\)反向推导\(\delta_h^{(t)}, \delta_C^{(t)}\)。
\(\delta_h^{(t)}\)的梯度由本层t时刻的输出梯度误差和大于t时刻的误差两部分决定，即：\[? \delta_h^{(t)} =\frac{\partial L}{\partial?h^{(t)}}? =\frac{\partial l(t)}{\partial?h^{(t)}} + (?\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial?h^{(t)}})^T\frac{\partial L(t+1)}{\partial?h^{(t+1)}}? = V^T(\hat{y}^{(t)} - y^{(t)}) + (\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial?h^{(t)}})^T\delta_h^{(t+1)} \]
整个LSTM反向传播的难点就在于$?\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial?h^{(t)}}\(这部分的计算。仔细观察，由于\)h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})\(, 在第一项\)o^{(t)}\(中，包含一个\)h\(的递推关系，第二项\)tanh(C^{(t)})\(就复杂了，\)tanh\(函数里面又可以表示成：\)\(C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot?f^{(t)} +?i^{(t)}?\odot?a^{(t)}\)$
\(tanh\)函数的第一项中，\(f^{(t)}?\)包含一个\(h\)的递推关系，在\(tanh\)函数的第二项中，\(i^{(t)}\)和\(a^{(t)}\)都包含\(h\)的递推关系，因此，最终$?\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial?h^{(t)}}$这部分的计算结果由四部分组成。即：
\[\Delta C = o^{(t+1)} \odot [1-tanh^2(C^{(t+1)})]\]
\[\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}} = W_o^T [o^{(t+1)} \odot (1-o^{(t+1)}) \odot tanh(C^{(t+1)})] +? W_f^T [\Delta C? \odot f^{(t+1)} \odot (1-f^{(t+1)}) \odot C^{(t)}] + W_a^T \{ \Delta C? \odot i^{(t+1)} \odot [1-(a^{(t+1)})^2] \}? + W_i^T [\Delta C? \odot a^{(t+1)} \odot? i^{(t+1)}? \odot (1-i^{(t+1)})]\]
而\(\delta_C^{(t)}\)的反向梯度误差由前一层\(\delta_C^{(t+1)}\)的梯度误差和本层的从\(h^{(t)}\)传回来的梯度误差两部分组成，即：\[\delta_C^{(t)} =(\frac{\partial ?C^{(t+1)}}{\partial?C^{(t)}}?)^T\frac{\partial L}{\partial C^{(t+1)}} + (\frac{\partial h^{(t)}}{\partial C^{(t)}}?)^T\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}= (\frac{\partial ?C^{(t+1)}}{\partial?C^{(t)}}?)^T\delta_C^{(t+1)} + \delta_h^{(t)} \odot ?o^{(t)} \odot (1 - tanh^2(C^{(t)})) = \delta_C^{(t+1)} \odot f^{(t+1)} + \delta_h^{(t)} \odot ?o^{(t)} \odot (1 - tanh^2(C^{(t)}))\]
有了\(\delta_h^{(t)}\)和\(\delta_C^{(t)}\)， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出\(W_f\)的梯度计算过程，其他的\(U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o，V, c\)的梯度大家只要照搬就可以了。\[\frac{\partial L}{\partial W_f} =\sum\limits_{t=1}^{\tau} [\delta_C^{(t)} \odot?C^{(t-1)} \odot f^{(t)}\odot(1-f^{(t)})] (h^{(t-1)})^T\]
LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。
（欢迎转载，转载请注明出处。欢迎沟通交流： liujianping-ok@163.com）
1）?Neural Networks and Deep Learning?by?By Michael Nielsen
2）?Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville
3）?UFLDL Tutorial
4）Understanding-LSTMs
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原文地址：https://www.cnblogs.com/nickchen121/p/11215359.html
