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最长上升子序列

时间:2019-07-22 16:31:07      阅读:89      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:ios   lib   成长   i++   iostream   取值   大于等于   输入   需要   

描述

一个数的序列bi,当b1 < b2 < ... < bS的时候,我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN),我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK),这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如,对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8),有它的一些上升子序列,如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4,比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务,就是对于给定的序列,求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数,这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出

4

 

 

一、确定状态


我们让dp[k] 代表从 1->k 的最长上升子序列的长度。 状态有N个

 

二、确定转移方程

 

让我们举个例子:求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。

  前1个数 d(1)=1 子序列为2;

  前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7

  前3个数 在1前面没有比1更小的,1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1

  前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5

  前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6

  前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4

  前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3

  前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8

  前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9

  d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5

  总结一下,d(i)就是找以A[i]结尾的,在A[i]之前的最长上升子序列+1,当A[i]之前没有比A[i]更小的数时,d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列

想要求得最长上升子序列的长度,来源只有一种——前一个最长上升子序列的长度+1 ,据此就得到了状态转移方程 。

 

时间复杂度:O (n^2)

 

Code:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <stdlib.h>
 5 #include <string>
 6 #include <string.h>
 7 #include <set>
 8 #include <queue>
 9 #include <math.h>
10 #include <stdbool.h>
11 
12 #define ll long long
13 #define inf 0x3f3f3f3f
14 using namespace std;
15 const int MAXN = 1005;
16 
17 int dp[MAXN];
18 int a[MAXN];
19 int N;
20 
21 
22 int main()
23 {
24     scanf("%d",&N);
25     for (int i=1;i<=N;i++)
26         cin >> a[i];
27     for(int i=1;i<=N;i++)
28         dp[i] = 1;
29     for (int i=2;i<=N;i++)
30     {
31         for (int j=1;j<i;j++)
32         {
33             if (a[j]<a[i])
34                 dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
35         }
36     }
37     sort(dp+1,dp+1+N);
38     cout << dp[N] << endl;
39     return 0;
40 
41 }

 

优化算法:贪心+二分


新建一个 low 数组,low [ i ]表示长度为i的LIS结尾元素的最小值。对于一个上升子序列,显然其结尾元素越小,越有利于在后面接其他的元素,也就越可能变得更长。因此,我们只需要维护 low 数组,对于每一个a[ i ],如果a[ i ] > low [当前最长的LIS长度],就把 a [ i ]接到当前最长的LIS后面,即low [++当前最长的LIS长度] = a [ i ]。 
那么,怎么维护 low 数组呢?
对于每一个a [ i ],如果a [ i ]能接到 LIS 后面,就接上去;否则,就用 a [ i ] 取更新 low 数组。具体方法是,在low数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素low [ j ],用a [ i ]去更新 low [ j ]。如果从头到尾扫一遍 low 数组的话,时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到 low 数组内部一定是单调不降的,所有我们可以二分 low 数组,找出第一个大于等于a[ i ]的元素。二分一次 low 数组的时间复杂度的O(lgn),所以总的时间复杂度是O(nlogn)。

Code:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <stdlib.h>
 5 #include <string>
 6 #include <string.h>
 7 #include <set>
 8 #include <queue>
 9 #include <math.h>
10 #include <stdbool.h>
11 
12 #define ll long long
13 #define inf 0x3f3f3f3f
14 using namespace std;
15 const int MAXN = 1005;
16 
17 int dp[MAXN];
18 int a[MAXN];
19 int N;
20 
21 
22 int main()
23 {
24     scanf("%d",&N);
25     for (int i=1;i<=N;i++)
26         cin >> a[i];
27     memset(dp,inf, sizeof(dp));
28     dp[1] = a[1];
29     int len = 1;
30     int pos;
31     for (int i=1;i<=N;i++)
32     {
33         if (a[i]<=dp[len])
34         {
35             pos=lower_bound(dp+1,dp+len+1,a[i])-dp;
36             dp[pos] = a[i];
37         }
38         else
39         {
40             len++;
41             dp[len] = a[i];
42         }
43     }
44     cout << len << endl;
45     return 0;
46 
47 }

 

 

这里再讲一个最长上升子序列的变种题目:

 

求最长上升子序列的个数

这一个算法思想上和求最长子序列是差不多的,唯一难的地方在于如何去记录不同的序列

 

对于最长子序列的个数,需要我们在处理dp的时候来记录,我们设count[i]为以第i个数结尾的最长序列的个数,与dp同理,count初值也都是1;


状态转移的时候,如果dp更新了,也就是说(dp[j]+1>dp[i])说明这个长度的序列是新出现的,我们需要将count[i]设置为count[j],因为新序列中,最新的数提供了序列的尾巴,数量是由前面积累的(或者说转移) 

举例序列[1 1 3 7]我们易得数字3对应的dp=2,count=2,因为可以构成两个[1 3]那么我们操作到数字7的时候,发现接在3后面最长,就可以转移count来作为初始数量;

 

dp[j]+1==dp[i]的时候,如同样例,操作7的时候,我们最先发现了可以接在5后面,最长序列[1 3 5 7],然后发现可以接在4后面,[1 3 4 7],长度也是4,这时候就同样需要转移count,加上去 count[i]+=count[j]

最后我们需要遍历dp,找到dp[i]=我们记录的最大值的时候,累加我们得到的count[i],即为所求结果,时间复杂度是O(n^2)

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <stdlib.h>
 5 #include <string>
 6 #include <string.h>
 7 #include <set>
 8 #include <queue>
 9 #include <math.h>
10 #include <stdbool.h>
11 
12 #define ll long long
13 #define inf 0x3f3f3f3f
14 using namespace std;
15 const int MAXN = 1005;
16 
17 int dp[MAXN];
18 int a[MAXN];
19 int cnt[MAXN];
20 int N;
21 
22 
23 int main()
24 {
25     scanf("%d",&N);
26     for (int i=1;i<=N;i++)
27         cin >> a[i];
28     for (int i=1;i<=N;i++)
29     {
30         dp[i] = 1;
31         cnt[i] = 1;
32     }
33     int mxn = 0;
34     for (int i=1;i<=N;i++)
35     {
36         for (int j=1;j<i;j++)
37         {
38             if (a[j] < a[i])
39             {
40                 if (dp[j]+1 > dp[i])
41                 {
42                     dp[i] = dp[j] + 1;
43                     cnt[i] = cnt[j];
44                 }
45                 else if (dp[j] + 1 == dp[i])
46                 {
47                     cnt[i] += cnt[j];
48                 }
49             }
50         }
51         mxn = max(mxn,dp[i]);
52     }
53     cout << mxn << endl;
54     int res = 0;
55     for (int i=1;i<=N;i++)
56     {
57         if (dp[i] == mxn)
58         {
59             res+= cnt[i];
60         }
61     }
62     cout << res << endl;
63     return 0;
64 }

 

最长上升子序列

标签:ios   lib   成长   i++   iostream   取值   大于等于   输入   需要   

原文地址:https://www.cnblogs.com/-Ackerman/p/11226596.html

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