标签：ios lib 成长 i++ iostream 取值 大于等于 输入 需要
描述
一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
输入
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出
最长上升子序列的长度。
样例输入
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出
4
一、确定状态
我们让dp[k] 代表从 1->k 的最长上升子序列的长度。 状态有N个
二、确定转移方程
让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。
前1个数 d(1)=1 子序列为2；
前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7
前3个数 在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1
前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5
前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6
前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4
前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3
前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8
前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9
d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5
总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列
想要求得最长上升子序列的长度，来源只有一种——前一个最长上升子序列的长度+1 ，据此就得到了状态转移方程 。
时间复杂度：O (n^2)
Code：
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <algorithm> 4 #include <stdlib.h> 5 #include <string> 6 #include <string.h> 7 #include <set> 8 #include <queue> 9 #include <math.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define ll long long 13 #define inf 0x3f3f3f3f 14 using namespace std; 15 const int MAXN = 1005; 16 17 int dp[MAXN]; 18 int a[MAXN]; 19 int N; 20 21 22 int main() 23 { 24 scanf("%d",&N); 25 for (int i=1;i<=N;i++) 26 cin >> a[i]; 27 for(int i=1;i<=N;i++) 28 dp[i] = 1; 29 for (int i=2;i<=N;i++) 30 { 31 for (int j=1;j<i;j++) 32 { 33 if (a[j]<a[i]) 34 dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]); 35 } 36 } 37 sort(dp+1,dp+1+N); 38 cout << dp[N] << endl; 39 return 0; 40 41 }
优化算法：贪心+二分
新建一个 low 数组，low [ i ]表示长度为i的LIS结尾元素的最小值。对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。因此，我们只需要维护 low 数组，对于每一个a[ i ]，如果a[ i ] > low [当前最长的LIS长度]，就把 a [ i ]接到当前最长的LIS后面，即low [++当前最长的LIS长度] = a [ i ]。
那么，怎么维护 low 数组呢？
对于每一个a [ i ]，如果a [ i ]能接到 LIS 后面，就接上去；否则，就用 a [ i ] 取更新 low 数组。具体方法是，在low数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素low [ j ]，用a [ i ]去更新 low [ j ]。如果从头到尾扫一遍 low 数组的话，时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到 low 数组内部一定是单调不降的，所有我们可以二分 low 数组，找出第一个大于等于a[ i ]的元素。二分一次 low 数组的时间复杂度的O(lgn)，所以总的时间复杂度是O(nlogn)。
Code：
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <algorithm> 4 #include <stdlib.h> 5 #include <string> 6 #include <string.h> 7 #include <set> 8 #include <queue> 9 #include <math.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define ll long long 13 #define inf 0x3f3f3f3f 14 using namespace std; 15 const int MAXN = 1005; 16 17 int dp[MAXN]; 18 int a[MAXN]; 19 int N; 20 21 22 int main() 23 { 24 scanf("%d",&N); 25 for (int i=1;i<=N;i++) 26 cin >> a[i]; 27 memset(dp,inf, sizeof(dp)); 28 dp[1] = a[1]; 29 int len = 1; 30 int pos; 31 for (int i=1;i<=N;i++) 32 { 33 if (a[i]<=dp[len]) 34 { 35 pos=lower_bound(dp+1,dp+len+1,a[i])-dp; 36 dp[pos] = a[i]; 37 } 38 else 39 { 40 len++; 41 dp[len] = a[i]; 42 } 43 } 44 cout << len << endl; 45 return 0; 46 47 }
这里再讲一个最长上升子序列的变种题目：
求最长上升子序列的个数
这一个算法思想上和求最长子序列是差不多的，唯一难的地方在于如何去记录不同的序列
对于最长子序列的个数，需要我们在处理dp的时候来记录，我们设count[i]为以第i个数结尾的最长序列的个数，与dp同理，count初值也都是1；
状态转移的时候，如果dp更新了，也就是说（dp[j]+1>dp[i]）说明这个长度的序列是新出现的，我们需要将count[i]设置为count[j]，因为新序列中，最新的数提供了序列的尾巴，数量是由前面积累的（或者说转移）
举例序列[1 1 3 7]我们易得数字3对应的dp=2,count=2,因为可以构成两个[1 3]那么我们操作到数字7的时候，发现接在3后面最长，就可以转移count来作为初始数量；
当dp[j]+1==dp[i]的时候，如同样例，操作7的时候，我们最先发现了可以接在5后面，最长序列[1 3 5 7],然后发现可以接在4后面，[1 3 4 7]，长度也是4，这时候就同样需要转移count，加上去 count[i]+=count[j]
最后我们需要遍历dp，找到dp[i]=我们记录的最大值的时候，累加我们得到的count[i]，即为所求结果，时间复杂度是O(n^2)
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <algorithm> 4 #include <stdlib.h> 5 #include <string> 6 #include <string.h> 7 #include <set> 8 #include <queue> 9 #include <math.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define ll long long 13 #define inf 0x3f3f3f3f 14 using namespace std; 15 const int MAXN = 1005; 16 17 int dp[MAXN]; 18 int a[MAXN]; 19 int cnt[MAXN]; 20 int N; 21 22 23 int main() 24 { 25 scanf("%d",&N); 26 for (int i=1;i<=N;i++) 27 cin >> a[i]; 28 for (int i=1;i<=N;i++) 29 { 30 dp[i] = 1; 31 cnt[i] = 1; 32 } 33 int mxn = 0; 34 for (int i=1;i<=N;i++) 35 { 36 for (int j=1;j<i;j++) 37 { 38 if (a[j] < a[i]) 39 { 40 if (dp[j]+1 > dp[i]) 41 { 42 dp[i] = dp[j] + 1; 43 cnt[i] = cnt[j]; 44 } 45 else if (dp[j] + 1 == dp[i]) 46 { 47 cnt[i] += cnt[j]; 48 } 49 } 50 } 51 mxn = max(mxn,dp[i]); 52 } 53 cout << mxn << endl; 54 int res = 0; 55 for (int i=1;i<=N;i++) 56 { 57 if (dp[i] == mxn) 58 { 59 res+= cnt[i]; 60 } 61 } 62 cout << res << endl; 63 return 0; 64 }
标签：ios lib 成长 i++ iostream 取值 大于等于 输入 需要
原文地址：https://www.cnblogs.com/-Ackerman/p/11226596.html
