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CodeForces - 1140E Palindrome-less Arrays

时间:2019-07-23 16:58:29      阅读:134      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:sla   固定   n+1   r++   有一个   oid   main   inline   fine   

<iframe>标签真好用。但要是vj挂了,我这里的题面也挂了……

中文题意

给一个长度为n的序列,其中的数字范围是[1,k],有一些已经给定了,另一些空着等我们填数字(用-1表示)。我们要在所有空着的地方填入[1,k]范围内的整数,并且使填完后的序列里没有长度为奇数的回文串(单个不算)。问总的方案数%998244353。993244853

解题思路

看到这题,先瞪着草稿纸思考一波……奇数的回文串一定会有一个“中心”,往两边走依次相等,那么不满足题意的条件就是,至少有一个中心\(a_i\),相邻两边的数字\(a_{i-1}\)\(a_{i+1}\)相等。所以,我们可以用总的方案数减去不满足要求的方案数。但……想了几种计算不满足的方案数的方法,都做不到不重不漏,弃疗,看题解——

直接算就好,不用减。要求的是有多少种填数方式,使所有\(a_{i-1}\)\(a_{i+1}\)不相等,然后可以想到(我就想不到),序列的奇数项和偶数项可以分开计算,互不干扰,最后把两个的答案相乘就好。对于分开后的每个子序列,只用让序列中没有相邻两项就好。有没有一点眼熟HNOI2008 越狱

当给的序列里只有-1,也就是全部要我们自己填时,差不多就是“越狱”了。当序列里有一些给定的值时,这些给定值就会把连续的-1序列切断成几节。因为我们只需要让序列中相邻项不相等,所以每一节-1串之间不会互相影响,只用单独处理每个-1串,再把它们的方案数乘起来就好。

对于每一个长度为len的-1子串,可以分以下几种情况

  • 两边都没有给定数字存在,这个不叫子串了,也就是“越狱”了。
    • 答案就是“越狱”那题的\(k*(k-1)^{len-1}\)
  • 单边没有给定数字,也就是左边或者右边就是序列外面了。
    • 思路类似“越狱”,可以得到,答案是\((k-1)^{len}\)
  • 两边的给定数字不相等
    • 这种子串的方案数量用\(dp[len][0]\)表示
  • 两边的给定数字相等
    • 这种子串的方案数量用\(dp[len][1]\)表示

先思考边界,只有一个-1时比较显然,只用看这个-1的两边就好,\(dp[1][0]=k-2\)\(dp[1][1]=k-1\)

然后开始转移(下面的\(len>1\))——

  • 用△▽□表示不相等的给定数字。用****表示某个长度的-1串
  • 对于\(dp[len][1]\),可以表示成△****△。我们先把边上的一个-1固定下来——△***▽△。由于和右边的△相邻,所以▽不能和△相等,所以▽有\(k-1\)种选择,于是问题转化成△****▽。所以,\[dp[len][1]=dp[len-1][0]*(k-1)\]
  • 对于\(dp[len][0]\),同样可以先固定一个边上的-1——△***□▽。然后对□分类
    • 当□=△时,方案数是\(dp[len-1][1]\)
    • 当□!=△时,□!=▽,所以方框只有\(k-2\)种选择,这种情况方案数是\(dp[len-1][0]*(k-1)\)
  • 上面两种情况相加可得\(dp[len][0]=dp[len-1][1]+dp[len-1][0]*(k-1)\)

然后因为我们这里处理的都只是原序列的一半,所以\(len\leqslant\frac{n}{2}\)

总结一下就是,先读入n,预处理出dp数组。在输入序列的时候把原序列分成奇偶两个子序列。对于每个子序列,先计算两边的-1串(如果有),再计算中间的-1串。顺便,给定的数字,多判断一下它们和相邻的是否相等,完事。

源代码

#include<stdio.h>

#define mod 998244353
long long n,s[2][100010],k;
long long dp[100010][2];
long long ans=1;

long long p(long long a,long long b)
{
    if(b==0) return 1LL;
    if(b==1) return a%mod;
    long long x=p(a,b>>1);
    x*=x;
    x%=mod;
    x*=p(a,b&1);
    x%=mod;
    return x;
}

void solve(long long *a,long long len)
{
    long long l,r;
    l=0;
    while(!(~a[l])&&a[l]) l++;//处理左边的-1串
    if(l==len+1)
    {
        ans=ans*k%mod*p(k-1,len)%mod;//全是-1串
        return;
    }
    ans*=p(k-1,l);
    ans%=mod;
    r=len;
    while(r>=0&&!(~a[r])) r--;//处理右边的-1串
    if(r<len) ans*=p(k-1,len-r),ans%=mod;
    r++;
    for(int i=l,count=0;i<=r;i++)
    {
        if(a[i]==-1)//统计中部-1串的数量
        {
            count++;
            continue;
        }
        else if(count)//计算中间的-1串
        {
            if(a[i]==a[i-count-1]) ans*=dp[count][1];
            else ans*=dp[count][0];
            ans%=mod;
            count=0;
        }
        else if(i&&a[i]==a[i-1])//给定数字中,相邻的相同
        {
            ans=0;
            return;
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld",&s[i&1][i>>1]);
    dp[1][0]=k-2;dp[1][1]=k-1;
    for(int i=2;i<=n>>1;i++)
    {
        dp[i][0]=dp[i-1][1]+dp[i-1][0]*(k-2)%mod;
        dp[i][1]=dp[i-1][0]*(k-1)%mod;
        dp[i][0]%=mod;
        dp[i][1]%=mod;
    }
    solve(s[0],n-1>>1);
    if(!ans)
    {
        puts("0");
        return 0;
    }
    solve(s[1],(n-1>>1)-(n&1));
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

CodeForces - 1140E Palindrome-less Arrays

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wawcac-blog/p/11232523.html

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