0/1背包

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【问题描述】

一个旅行者有一个最多能用m公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为C1,C2,...,Cn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。

【输入格式】

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)； 第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。

【输出格式】

仅一行，一个数，表示最大总价值。

【样例输入】package.in

10 4 2 1 3 3 4 5 7 9

【样例输出】package.out

12

f[i][v]=max{ f[i-1][v] , f[i-1][v-w[i]]+c[i] }。

初值f[0][0]=0,其余为负无穷，目标：max{ f [n][j] } 0<=j<=m

（优化空间复杂度）

通过DP的状态转移方程，发现每一阶段i的状态只与上一阶段i-1的状态有关。在这种情况下，我们可以使用称为“滚动数组”的优化方法，降低空间的开销。 

（继续优化空间复杂度） 

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。 　　

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的逆序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-w[i]]保存的是状态f[i-1][v-w[i]]的值。

伪代码如下： 　　

for i=1..N 　　　

for v=V..0 　　　　　

f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]}; 　　

其中f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]}相当于转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]}，因为现在的f[v-w[i]]就相当于原来的f[i-1][v-w[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-w[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的完全背包问题最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

【解法一】

设f[i][v]表示前i件物品，总重量不超过v的最优价值，则f[i][v]=max(f[i-1][v-w[i]]+c[i]，f[i-1][v]) ；f[n][m]即为最优解

给出程序：

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 const int maxm = 201, maxn = 31;
 4 int m, n;
 5 int w[maxn], c[maxn];
 6 int f[maxn][maxm]; 
 7 
 8 int max(int x,int y)  { x>y?x:y;}    //求x和y最大值
 9 
10 int main(){
11     scanf("%d%d",&m, &n);         //背包容量m和物品数量n
12     for (int i = 1; i <= n; i++)         //在初始化循环变量部分，定义一个变量并初始化
13       scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);    //每个物品的重量和价值
14     for (int i = 1; i <= n; i++)         // f[i][v]表示前i件物品，总重量不超过v的最优价值
15         for (int v = m; v > 0; v--)
16             if (w[i] <= v)  f[i][v] = max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
17                else  f[i][v] = f[i-1][v];
18      printf("%d",f[n][m]);               // f[n][m]为最优解
19      return 0;
20 }

使用二维数组存储各子问题时方便，但当maxm较大时，如maxm=2000时不能定义二维数组f，怎么办，其实可以用一维数组。

【解法二】

本问题的数学模型如下：设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值， 则f[v]=max{f[v]，f[v-w[i]]+c[i]} ，当v>=w[i]，1<=i<=n 。

程序如下：

 1 #include<cstdio>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int maxm = 2001, maxn = 31;
 5 int m, n;
 6 int w[maxn], c[maxn];
 7 int f[maxm]; 
 8 int main(){
 9     scanf("%d%d",&m, &n);           //背包容量m和物品数量n
10     for (int i=1; i <= n; i++)
11         scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);   //每个物品的重量和价值
12    
13     for (int i=1; i <= n; i++)              //设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值
14         for (int v = m; v >= w[i]; v--)
15             if (f[v-w[i]]+c[i]>f[v])
16                 f[v] = f[v-w[i]]+c[i];
17 printf("%d",f[m]);                           // f(m)为最优解
18 return 0;
19 }

总结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

0/1背包

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