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\[[n==1]=\sum_{d|n}\mu (d)\]
这个式子用来替换条件式，从而降低复杂度
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{[\frac ni]}f(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{[\frac ni]}f(j)\]
被加数可以任意以\(i\)或\(j\)作为索引
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{[\frac ni]}f(ij)*g(i)*h(j)=\sum_{k=1}^nf(k)*\sum_{d|k}g([\frac kd])h(d)\]
令\(k=ij\)，然后枚举\(k\)。这里的\(i\)可以不从1枚举到n，可以是任意数，前提是保证后面的d和i性质一样(比如i是[1,n]范围内的质数，那么d|k且d是质数)，且计算时保证关于i的函数和关于d的函数是同一性质（还是刚才的例子，式子左边是g(i)，右边以d作为自变量的也应该是g而不应该是h，但如果i是顺序从1枚举到n则没有这个限制）
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)==x]=2*pre\phi([\frac nx]) -1\]
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==x]=\sum_{d=1}^{[\frac nx]}\left( \mu(d)*[\frac {n}{dx}]*[\frac {m}{dx}]\right)\]
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^n\left(2d*pre\phi[\frac nx]-d\right)\]
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^mgcd(i,j)=\sum_{x=1}^{n}\left(x*\sum_{d=1}^{[\frac nx]}\left( \mu(d)*[\frac {n}{dx}]*[\frac {m}{dx}]\right)\right)\]
\[d(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]\]
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(i*j)= \sum_{d=1}^n\left(\mu(d)*pred([\frac nd])*pred([\frac md])\right)\]
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{[\frac mi]}ij\mu(i)=1\]
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j))=\sum_{x=1}^n\sigma(x)\sum_{d=1}^{[\frac nx]}\left( \mu(d)*[\frac {n}{dx}]*[\frac {m}{dx}]\right)\]
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j))*[\sigma(gcd(i,j))<=a]=\sum_{k=1}^n[\frac {n}{k}][\frac {m}{k}]g(k),其中g(k) =\sum\limits_{d|k}\sigma(d)*[\sigma(d)<=a]\mu([\frac kd])\]
这里分块，然后\(g(k)\)的区间和用线段树维护，每次\(a\)修改，用线段树给\(g(k)\)修改
\[f(x)=\sum\limits_{i=1}^{[sqrt(x)]}\mu(i)*[\frac{x}{i^2}]\]
[1,x]范围内所有数不含平方因子的数的数量
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原文地址：https://www.cnblogs.com/danzh/p/11296670.html
