标签：函数 证明 构造 数学 nbsp 数学题 bsp int 一个
1.函数$f(x)$在$\left [ 0,1 \right ]$单调非增，证明：对于任何$\alpha \in(0,1)$:
$\int_{0}^{\alpha}f(x)dx \geq \alpha \int_{0}^{1}f(x)dx$
证明：即证 $(1-\alpha)\int_{0}^{\alpha} f(x)dx \geq \alpha \int_{\alpha}^{1} f(x)dx$
由$f(x)$单调不增，所以有$(1-\alpha)\int_{0}^{\alpha} f(x)dx \geq (1-\alpha)(\alpha) f(\alpha)$
而$(\alpha)\int_{\alpha}^{1} f(x)dx \leq (1-\alpha) (\alpha)f(\alpha)$
所以结论成立
2.设$a,b>0,f(x) \geq 0$,且$f(x)$在[a,b]上可积，$\int_{a}^{b} xf(x) dx=0$求证：
$\int_{a}^{b}x^{2}f(x)dx\leq ab \int_{a}^{b}f(x)dx$
证明：构造一个$\int_{a}^{b}(x+a)(b-x) f(x)dx \geq 0 $
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原文地址：https://www.cnblogs.com/liulex/p/11297321.html
