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大衍求一术是秦九韶发明的一种求特殊一次同余式的方法，以下摘自百度百科
秦九韶，字道古，生活于南宋时期，自幼喜好数学，经过长期积累和苦心钻研，于公元1247年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有创造，其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世界意义的成就。
对于形如ax ≡ 1 (mod n)，(a,n) = 1的同余式，秦九韶的大衍求一术给出了一种优秀的解法。
注意a,n必须互素
第一步我们令k0 = 0，k1 = 1, r0 = n, r1 = a，（k叫乘率，也是最后答案）
第二步我们让 r0 和 r1 作带余除法，即 r0 = q2r1 + r2，
第三步我们用 r1 和 r2 作带余除法，即r1 = q3r2 + r3
...
直到出现rn = 1， 这时我们带回同余方程
定义kn = kn-2 - qnkn-1，依次回代求得kn即是同余方程的解
37x ≡ 1 (mod 73)
(37,73)=1,所以满足使用大衍求一术的条件
首先我们令k0 = 0，k1 = 1，r0= 73，r1=37
r0/r1: 73=37*1+36 =>q2=1,r2=36
r1/r2: 37=36*1+1 =>q3=1,r3=1
此时r3=1，停止除法，代回求解
k2=k0-q2k1，
k3=k1-q3k2
=>k3=2
因此37 x≡ 1 (mod 73)的解为
x ≡ 2 (mod 73)
1 int dyqy(int a, int p) 2 { 3 if (__gcd(a, p) != 1) 4 return -1; //不能用大衍求一术 5 vector<int> k, r, q; 6 k.emplace_back(0), k.emplace_back(1); //k0=0,k1=1 7 r.emplace_back(p), r.emplace_back(a); //r0=p,r1=a 8 q.emplace_back(-1), q.emplace_back(-1); 9 int i = 0; 10 while (1) 11 { 12 int ra = r[i], rb = r[i + 1]; 13 int qtmp = ra / rb; 14 int rtmp = ra % rb; 15 q.emplace_back(qtmp); 16 r.emplace_back(rtmp); 17 ++i; 18 if (rtmp == 1) 19 break; 20 } 21 int sz = r.size(); 22 for (int i = 2; i < sz; i++) 23 { 24 int ktmp = k[i - 2] - k[i - 1] * q[i]; 25 k.emplace_back(ktmp); 26 } 27 return k.back(); 28 }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/mooleetzi/p/11297722.html
