标签：class play bre 变形 get bug lin init for
给定 n，求：
\[\sum_{i=1}^{n}gcd(\lfloor^3\sqrt{i}\rfloor, i)\mod 998244353\]
Input
第一行包含一个整数 T(1≤T≤11) 描述数据组数。
接下来 T 行，每行一个整数 n (1≤n≤10^21) 描述询问。
Output
对于每组询问，输出答案 mod 998244353。
Sample Input
10
64
180
526
267
775
649
749
908
300
255
Sample Output
103
327
1069
522
1693
1379
1631
1998
606
492
考虑 \(\lfloor^3\sqrt{n}\rfloor\) 其实只有 10^7 种取值，令 \(x =\lfloor^3\sqrt{n}\rfloor\)，我们的问题其实是在求：
\[ans=\sum_{i=1}^{x-1}\sum_{j=i^3}^{(i+1)^3-1}gcd(i, j) + \sum_{j=x^3}^{n}gcd(x, j)\]
我们现在考虑怎么求 \(f(n, i)=\sum_{j=1}^{n}gcd(i, j)\)，然后用前缀和相减的方法搞一搞。
考虑一波反演变成 \(f(n, i)=\sum_{p|i}\sum_{d|p}\lfloor\frac{n}{p}\rfloor*\mu(\frac{p}{d})*d\)。
注意到 \(i|i^3, i|(i+1)^3-1\)，放在上式相当于 \(n=i^3 或 (i+1)^3-1\)，于是可以得到 \(p|n\)。
由此，考虑对式子进行进一步地变形，得到 \(f(n, i)=n*\sum_{p|i}\sum_{d|p}\frac{d}{p}*\mu(\frac{p}{d})\)。
令整数 \(a = \frac{p}{d}\)。考虑对于某个 i，一共有 \(\sigma(\frac{i}{a})\) 对 (p, d) 满足 \(a = \frac{p}{d}\)。
所以得到 \(f(n, i)=n*\sum_{a|i}\frac{\mu(a)}{a}*\sigma(\frac{i}{a})\)。
然后后面那个 \(\sum_{a|i}\frac{\mu(a)}{a}*\sigma(\frac{i}{a})\) 显然是个积性函数，筛一筛就好了，不妨令为 g(i)。
现在答案的表达式变为：
\[ans=\sum_{i=1}^{x-1}(((i+1)^3-1)*g(i) - i^3*g(i) + gcd(i, i^3)) + \sum_{j=1}^{n}gcd(x, j) - g(x)*x^3 + gcd(x, x^3)\]
因为 gcd(i, i^3) = i，所以只需要一个等差数列求和公式套上去就可以解决这些项了。那些与 n 无关的项可以直接预处理。
现在只剩下 \(\sum_{j=1}^{n}gcd(x, j)\) 这一项需要求解。因为 \(x | n\) 不一定成立，所以上面的推导不一定成立。
考虑回到最初的反演式：\(\sum_{j=1}^{n}gcd(x, j) = \sum_{p|x}\sum_{d|p}\lfloor\frac{n}{p}\rfloor*\mu(\frac{p}{d})*d\)
假如枚举出 p，那么剩下的 \(\sum_{d|p}\mu(\frac{p}{d})*d\) 就又是个积性函数了，筛就完事儿了。
最后只需要枚举因数，因此复杂度是 \(O(10^7 + \sqrt{10^7}*T)\)。好像比正解要优秀些？
#include<cstdio>
const int MAXN = int(1E7);
const int MOD = 998244353;
template <class T>
void read(T &x) {
static char ch;static bool neg;
for(ch=neg=0;ch<'0' || '9'<ch;neg|=ch=='-',ch=getchar());
for(x=0;'0'<=ch && ch<='9';(x*=10)+=ch-'0',ch=getchar());
x=neg?-x:x;
}
int pow_mod(int b, int p) {
int ret = 1;
while( p ) {
if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
b = 1LL*b*b%MOD;
p >>= 1;
}
return ret;
}
int club(__int128 x) {
int l = 1, r = int(1E7);
while( l < r ) {
int mid = (l + r + 1) >>1;
__int128 y = mid;
if( y*y*y <= x ) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
int inv[MAXN + 5], f[MAXN + 5], g[MAXN + 5], h[MAXN + 5];
int prm[MAXN + 5], low[MAXN + 5], pcnt = 0;
int gcd(int a, int b) {
return (b == 0) ? a : gcd(b, a%b);
}
void init() {
inv[1] = 1;
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
inv[i] = MOD - 1LL*inv[MOD%i]*(MOD/i)%MOD;
low[1] = f[1] = g[1] = 1;
for(int i=2;i<=MAXN;i++) {
if( !low[i] ) {
low[i] = i, prm[++pcnt] = i;
f[i] = (2 + MOD - inv[i])%MOD;
g[i] = (i - 1)%MOD;
long long p = 1LL*i*i;
for(int j=2;p<=MAXN;p*=i,j++)
low[p] = p, f[p] = (j + 1 + (MOD - 1LL*inv[i]*j%MOD))%MOD, g[p] = p/i*(i-1);
}
for(int j=1;1LL*i*prm[j]<=MAXN;j++) {
if( i % prm[j] == 0 ) {
if( i != low[i] ) {
low[i*prm[j]] = low[i]*prm[j];
f[i*prm[j]] = 1LL*f[i/low[i]]*f[prm[j]*low[i]]%MOD;
g[i*prm[j]] = 1LL*g[i/low[i]]*g[prm[j]*low[i]]%MOD;
}
break;
}
else {
low[i*prm[j]] = prm[j];
f[i*prm[j]] = 1LL*f[i]*f[prm[j]]%MOD;
g[i*prm[j]] = 1LL*g[i]*g[prm[j]]%MOD;
}
}
}
for(int i=1;i<=MAXN;i++) {
int tmp = (1LL*(i+1)*(i+1)%MOD*(i+1)%MOD + MOD - 1)%MOD;
h[i] = 1LL*f[i]*tmp%MOD;
h[i] = (h[i-1] + h[i])%MOD;
tmp = 1LL*i*i%MOD*i%MOD;
f[i] = 1LL*f[i]*tmp%MOD;
f[i] = (f[i-1] + f[i])%MOD;
}
}
int main() {
init();
int T; scanf("%d", &T);
while( T-- ) {
__int128 n; read(n);
int p = club(n), ans = 1LL*p*(p+1)%MOD*inv[2]%MOD;
for(int i=1;i*i<=p;i++) {
if( p % i == 0 ) {
ans = (ans + 1LL*g[i]*((n/i)%MOD)%MOD)%MOD;
if( i*i != p )
ans = (ans + 1LL*g[p/i]*((n/(p/i))%MOD)%MOD)%MOD;
}
}
ans = (ans + MOD - f[p])%MOD;
printf("%d\n", (ans + h[p-1])%MOD);
}
}因为怕 __int128 没办法用 cmath 里的 pow 函数，所以自己手写了个二分（居然没有问题）。
考场上因为某个地方的 n/i 写成了 n/(p/i)，没有调出来然后 GG 了。考后 debug 一会儿就出来了 QAQ。。。
标签：class play bre 变形 get bug lin init for
原文地址：https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/11304899.html
