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POJ3071(Football)--概率DP

时间:2019-08-06 23:58:03      阅读:143      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:一对一   targe   closed   输入   题意   关系   lan   自己   遍历   

题目在这

题意:有(1<<n个足球队进行比赛,在经过多轮一对一淘汰赛后决出冠军队伍,问最后哪支队伍能够获胜,即输出获胜概率最大的那支队伍编号。给了你n*n的矩阵,用来表示每支队伍间的各自胜率。输入-1为表示结束

en....网上当然也后不少解题报告,但是很多直接给出状态转移方程和贴出代码,而少了其中重要的推断过程,我觉得不是很好。所以自己给写一个较为详细的过程

首先呢,以n==3为例子,即8支队伍参赛。一种比赛情形是这样的

技术图片

由图可知,在题中给定n后,需要比赛n轮即可知道冠军队伍是谁,我这里多了个第0轮是为了后面计算需要

其次,对于DP的题目,我们首先要明确状态转移方程代表的含义是什么,我们已知什么,未知什么,怎么去确定合适的方程,这些是很重要的,当然,推出转移方程到后面更难的题目则是更重要的。

既然要求出最终能获胜的队伍,即求出每个队伍的在最后一轮的胜率,最后取一个最大值就ok了。并且,获得冠军的那支队伍既然能够到达最后一轮,那么,它一定经历了所有轮次的比赛,并且都赢了。在这每一轮比赛的胜率,就是子问题了。这是很简单就可以得出的。所以,后一轮的胜率,肯定是由上一轮的胜率决定的。

所以,DP[i][j]可以这么定义,它表示为在第i轮中,第j只队伍的胜率。这也符合求解问题的逻辑,我们已知总共的轮数(n),已知所有队伍的数量(1<<n),要求胜率最大的那支队伍的编号(?) :max(DP[n][?])

DP的含义确定了,那么,状态转移方程怎么来呢??

首先,dp数组的第一维表示的是整个赛事的轮数,所以外面有一层循环,接着,第二维表示每只队伍,所以又一层循环遍历每一只队伍。那么对应的概率到底怎么来呢.....

技术图片

因为对于树中的每个结点代表对应DP[i][j]的概率,即两支队伍某一方击败另一方,并且,这两支队伍在上一轮中都双双各自获胜,我们直接看最后一轮比赛/最上面一个结点,因为,所有底下结点是子问题,性质都一样,所以可以得到部分转移方程:(假设最后一轮是j赢了,此时i==3,概率为DP[i][j])

DP[i][j] =  DP[i-1][j] * DP[i-1][k] * ???;

DP[I-1][j]:表示本轮的赢家j在上一轮获胜的概率,上一轮一定是获胜了的再能到这一轮

DP[i-1][k]:表示本轮赢家j遇见的对手k,k在上一轮获胜的概率,k也晋级到了这一轮

???:这个表示什么呢???因为此时DP[i][j]表示这一轮是j获胜的概率,所以j战胜了k,那么胜率是多少呢??

在题中输入的矩阵中第j行k列就是这里的概率

所以完整的状态转移方程:(当前概率+=上一轮二者分别获胜的概率 * 这一轮一方胜另一方的概率)

1 dp[i][j] += dp[i-1][j] * dp[i-1][k] * G[j][k];

别以为到这里就结束了,k 的范围还没确定呢!!

从图中可知,在第二轮中3号结点不会遇见所有的对手只有可能遇见来自另一边的5,6,7,8的某一个

而1,2,4是不可能再遇见了(已经淘汰了)。那么,k的编号怎么判断呢??(关键)

假设最后是j和k进行决赛,那么表明j和k一定是在最后一轮相遇了,在倒数第二轮它们不会相遇,因为它们各自再进行半决赛(好像说了句废话,但是....)k的范围就这样确定。

因为到了最后一轮,所以遍历轮数的编号i此时为3,如图中,j为3,最后是k==7与之对决。

它们满足这样了个关系:

3 /(1<<3) == 7/(1<<3)  ==>0     &&    3 /(1<<2 ) != 7/(1<<2)   

公式是这样的

((j / (1<<i)) == (k / (1<<i)) ) && ( j /(1<<(i-1))  != (k / (1<<(i-1))) ) 

即对于某个j,判断k是否能和j同时成为一个点的左右孩子结点。这个条件就满足了对可能遇见的对手的的选取

这里还是要稍微思考下的。

技术图片
 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 const int maxn = 130; 
 7 int n;//总过(1<<n)个队伍
 8 double G[maxn][maxn];//存放各个队伍间的胜率关系 G[i][j]即队伍i击败队伍j的概率
 9 double dp[maxn][maxn];//dp[i][j]表示在第i轮第j只球队获胜的概率
10 
11 void DP()
12 {
13     for(int i = 0;i < (1<<n);i++)//算出每个队伍第0场的胜率,都为1.0
14     {
15         dp[0][i] = 1.0;
16     }
17     for(int i = 1;i <= n;i++)//决出冠军最多的轮数,一棵二叉树的深度-1
18     {
19         for(int j = 0; j < (1<<n);j++)//遍历每个队伍,计算出当前轮次的胜率
20         {
21             dp[i][j]= 0.0;//注意别忘了这个init
22             for(int k = 0; k < (1<<n);k++)//遍历可能交手的队伍
23             {
24                 if(j == k)
25                 {
26                     continue;//自己与自己不交手
27                 }
28                 //关键部分,j和k在决赛轮相遇,而在决赛轮之前它们是不会遇见的,即j和k是来自两个不同的小组的队伍
29                 if(((j / (1<<i)) == (k / (1<<i)) ) && ( j /(1<<(i-1))  != (k / (1<<(i-1))) ) )
30                 {
31                     dp[i][j] += dp[i-1][j] * dp[i-1][k] * G[j][k];
32                     // j上一轮获胜的概率  *  k上一轮获胜的概率 * 最后一轮j战胜k的概率
33                 }
34             }
35         }
36     } 
37 }
38 
39 int main()
40 {
41     while((scanf("%d",&n)&& n != -1))
42     {
43         for(int i =0 ;i< (1<<n);i++)
44         {
45             for(int j = 0;j < (1<<n);j++)
46             {
47                 scanf("%lf",&G[i][j]);
48             }
49         }
50         DP();
51         int ans = 0;//保存胜率最大的队伍编号
52         for(int j = 1 ;j < (1<<n);j++)//遍历每一只队伍
53         {
54             if(dp[n][ans] < dp[n][j])//更新胜率大的队伍
55             {
56                 ans = j;
57             }
58         }
59         cout<<ans+1<<endl;
60     }
61     return 0;
62 }
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POJ3071(Football)--概率DP

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原文地址:https://www.cnblogs.com/ygsworld/p/11312218.html

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