并不对劲的bzoj4001:loj2105:p3978:[TJOI2015]概率论

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题目大意

随机生成一棵\(n\)(n\leq10^9)个节点的有根二叉树，问叶子结点个数的期望。

题解

subtask 1：\(n\leq100\)，70pts

结论：不同的\(n\)个节点的有根二叉树有\(\frac{C_{2\times n}^{n}}{n+1}\)（也就是卡特兰数）个。
设\(f(i)\)表示\(i\)个节点的有根二叉树期望有几个叶子结点。
计算\(f(i)\)时考虑除根以外\(i-1\)个节点哪些放左边，哪些放右边。\(\Theta(n^2)\)。

subtask 2：\(n\leq 10^9\)，30pts

将\(f(i)\times \frac{C_{2\times n}^{n}}{n+1}\)打表，得：1,2,6,20,70,252……
也就是：\(1\times 1,2\times 1,3\times 2,4\times 5,5\times 14,6\times 42,.....\)
有：\(f(i)\times \frac{C_{2\times n}^{n}}{n+1}=i\times \frac{C_{2\times (n-1)}^{n-1}}{n}\)
\(f(i)=\frac{i\times f(i)\times \frac{C_{2\times (n-1)}^{n-1}}{n}}{\frac{C_{2\times n}^{n}}{n+1}}=\frac{i\times(i+1)}{2\times (2\times i-1)}\)

代码

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define view(u,k) for(int k=fir[u];~k;k=nxt[k])
#define LL long long
#define D double
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
void write(int x)
{
    if(x==0){putchar('0'),putchar('\n');return;}
    int f=0;char ch[20];
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;
    while(f)putchar(ch[f--]);
    putchar('\n');
    return;
}
int n;
//D g[107],f[107];
int main()
{
    n=read();
    /*f[0]=0,g[0]=g[1]=f[1]=1;
    rep(i,2,n)
    {
        rep(j,0,i-1)g[i]+=g[j]*g[i-j-1];
        rep(j,0,i-1)f[i]+=g[j]*g[i-j-1]/g[i]*(f[j]+f[i-j-1]);
    }
    */
    printf("%.9lf",n*(n+1.0)/2.0/(2.0*n-1.0));
    return 0;
}

一些感想

学习卡特兰数中……

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