回文树总结

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回文树

首先，回文树有何功能？
假设我们有一个串S，S下标从0开始，则回文树能做到如下几点：

1.求串S前缀0~i内本质不同回文串的个数（两个串长度不同或者长度相同且至少有一个字符不同便是本质不同）
2.求串S内每一个本质不同回文串出现的次数
3.求串S内回文串的个数（其实就是1和2结合起来）
4.求以下标i结尾的回文串的个数

模板：

const int MAXN = 100005 ;  
const int N = 26 ;  

struct Palindromic_Tree {  
    //cnt最后count一下之后是那个节点代表的回文串出现的次数
    int next[MAXN][N] ;//next指针，next指针和字典树类似，指向的串为当前串两端加上同一个字符构成  
    int fail[MAXN] ;//fail指针，失配后跳转到fail指针指向的节点  
    int cnt[MAXN] ; //表示节点i表示的本质不同的串的个数（建树时求出的不是完全的，最后count()函数跑一遍以后才是正确的） 
    int num[MAXN] ; //表示以节点i表示的最长回文串的最右端点为回文串结尾的回文串个数
    int len[MAXN] ;//len[i]表示节点i表示的回文串的长度（一个节点表示一个回文串）
    int S[MAXN] ;//存放添加的字符  
    int last ;//指向新添加一个字母后所形成的最长回文串表示的节点。
    int n ;//表示添加的字符个数。
    int p ;//表示添加的节点个数。

    int newnode ( int l ) {//新建节点  
        for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;  
        cnt[p] = 0 ;  
        num[p] = 0 ;  
        len[p] = l ;  
        return p ++ ;  
    }  

    void init () {//初始化  
        p = 0 ;  
        newnode (  0 ) ;  
        newnode ( -1 ) ;  
        last = 0 ;  
        n = 0 ;  
        S[n] = -1 ;//开头放一个字符集中没有的字符，减少特判  
        fail[0] = 1 ;  
    }  

    int get_fail ( int x ) {//和KMP一样，失配后找一个尽量最长的  
        while ( S[n - len[x] - 1] != S[n] ) x = fail[x] ;  
        return x ;  
    }  

    void add ( int c ) {  
        c -= ‘a‘ ;  
        S[++ n] = c ;  
        int cur = get_fail ( last ) ;//通过上一个回文串找这个回文串的匹配位置  
        if ( !next[cur][c] ) {//如果这个回文串没有出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串  
            int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建节点  
            fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ;//和AC自动机一样建立fail指针，以便失配后跳转  
            next[cur][c] = now ;  
            num[now] = num[fail[now]] + 1 ;  
        }  
        last = next[cur][c] ;  
        cnt[last] ++ ;  
    }  

    void count () {  
        for ( int i = p - 1 ; i >= 0 ; -- i ) cnt[fail[i]] += cnt[i] ;  
        //父亲累加儿子的cnt，因为如果fail[v]=u，则u一定是v的子回文串！  
    }  
} ;

例题1.BZOJ3676

题意

求一个字符串中所有回文子串的出现次数与长度乘积的最大值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=3e5+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
const int N=26;
struct PalTree{
    int next[maxn][N];///指向的串威当前串两端加上同一个字符构成
    int fail[maxn];///fail指针，失配后跳转的fail指针指向的结点
    int cnt[maxn];///表示结点i表示的本质不同的串的个数（不全的最后count（）跑一边才是正确的
    int num[maxn];///表示以结点i表示的最长最长回文串的最右端点为为回文结尾的回文串个数
    int len[maxn];///len[i]表示结点i表示的回文串长度
    int S[maxn];///存放添加的字符
    int last;///指向新添加一个字母后形成的最长回文串表示的结点
    int n;///表示添加的字符个数
    int p;///表示添加的结点个数
    int newnode(int l){///新建结点
        for(int i=0;i<N;i++)next[p][i]=0;
        cnt[p]=0;
        num[p]=0;
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n])x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-=‘a‘;
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);///通过上一个回文串找到这个回文串的匹配位置
        if(!next[cur][c]){///如果这个串没出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];
            next[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
        }
        last=next[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--)cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}pat;
char s[maxn];
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
    cin>>s;
    int len=strlen(s);
    pat.init();
    for(int i=0;i<len;i++){
        pat.add(s[i]);
    }
    pat.count();
    ll ret=0;
    for(int i=1;i<pat.p;i++){
        ret=max(ll(1LL*pat.len[i]*pat.cnt[i]),ret);
    }
    cout<<ret<<endl;
    return 0;
}

例题2 UVA7041

题意

给出两个仅包含小写字符的字符串 A 和 B ；
求：对于 A 中的每个回文子串，B 中和该子串相同的子串个数的总和。

从0和1两个根节点DFS下去，如果两个相同的节点同时存在就统计答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=4e5+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
const int N=26;
struct PalTree{
    int next[maxn][N];///指向的串威当前串两端加上同一个字符构成
    int fail[maxn];///fail指针，失配后跳转的fail指针指向的结点
    int cnt[maxn];///表示结点i表示的本质不同的串的个数（不全的最后count（）跑一边才是正确的
    int num[maxn];///表示以结点i表示的最长最长回文串的最右端点为为回文结尾的回文串个数
    int len[maxn];///len[i]表示结点i表示的回文串长度
    int S[maxn];///存放添加的字符
    int last;///指向新添加一个字母后形成的最长回文串表示的结点
    int n;///表示添加的字符个数
    int p;///表示添加的结点个数
    int newnode(int l){///新建结点
        for(int i=0;i<N;i++)next[p][i]=0;
        cnt[p]=0;
        num[p]=0;
        len[p]=l;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n])x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-=‘a‘;
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);///通过上一个回文串找到这个回文串的匹配位置
        if(!next[cur][c]){///如果这个串没出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];
            next[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
        }
        last=next[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--)cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}pat1,pat2;
ll dfs(int a,int b){
    ll ret=0;
    for(int i=0;i<N;i++)if(pat1.next[a][i]!=0&&pat2.next[b][i]!=0)
        ret+=(ll)pat1.cnt[pat1.next[a][i]]*pat2.cnt[pat2.next[b][i]]
        +dfs(pat1.next[a][i],pat2.next[b][i]);
    return ret;
}
char s1[maxn],s2[maxn];
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
    int t,cas=0;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>s1>>s2;
        pat1.init();
        pat2.init();
        int len1=strlen(s1);
        int len2=strlen(s2);
        for(int i=0;i<len1;i++)pat1.add(s1[i]);
        for(int i=0;i<len2;i++)pat2.add(s2[i]);
        pat1.count();pat2.count();
        ll ret=dfs(0,0)+dfs(1,1);
        cout<<"Case #"<<++cas<<": ";
        cout<<ret<<endl;
    }
    return 0;
}

例题3ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 Skr

题意

给出一个数字串，求其本质不同的回文子串的和。

在回文树建立的过程中自带去重，所以只需要跑一遍记录答案就好了。

奇根下直接连接的节点所代表的的都是单个字符的回文串，其他都是在两边加上同一个字符，用这个规律去生成数字求和就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pp pair<int,int>
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=2e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int gcd(int a,int b){while(b){int t=a%b;a=b;b=t;}return a;}
int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}
const int N=10;
ll modpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=(ans*a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
struct PalTree{
    int next[maxn][N];///指向的串威当前串两端加上同一个字符构成
    int fail[maxn];///fail指针，失配后跳转的fail指针指向的结点
    int cnt[maxn];///表示结点i表示的本质不同的串的个数（不全的最后count（）跑一边才是正确的
    int num[maxn];///表示以结点i表示的最长最长回文串的最右端点为为回文结尾的回文串个数
    int len[maxn];///len[i]表示结点i表示的回文串长度
    int S[maxn];///存放添加的字符
    int last;///指向新添加一个字母后形成的最长回文串表示的结点
    int n;///表示添加的字符个数
    int p;///表示添加的结点个数
    ll sum[maxn];
    int newnode(int l){///新建结点
        for(int i=0;i<N;i++)next[p][i]=0;
        cnt[p]=0;
        num[p]=0;
        len[p]=l;
        sum[p]=0;
        return p++;
    }
    void init(){
        p=0;
        newnode(0);
        newnode(-1);
        last=0;
        n=0;
        S[n]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x){
        while(S[n-len[x]-1]!=S[n])x=fail[x];
        return x;
    }
    void add(int c){
        c-=‘0‘;
        S[++n]=c;
        int cur=get_fail(last);///通过上一个回文串找到这个回文串的匹配位置
        if(!next[cur][c]){///如果这个串没出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串
            int now=newnode(len[cur]+2);
            fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];
            next[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
            sum[now]=(sum[cur]*10*1LL)%mod;
            sum[now]=(sum[now]+c)%mod;
            if(len[cur]>=0)sum[now]=(sum[now]+(c*modpow(10*1LL,len[now]-1))%mod)%mod;
        }
        last=next[cur][c];
        cnt[last]++;
    }
    void count(){
        for(int i=p-1;i>=0;i--)cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}pat;

char s[maxn];
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
    cin>>s;
    pat.init();
    int len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++)pat.add(s[i]);
    ll anw=0;
    for(int i=0;i<pat.p;i++)anw=(anw+pat.sum[i])%mod;
    cout<<anw<<endl;
    return 0;
}

例题4 HIHO#1602 : 本质不同的回文子串的数量

给定一个字符串S，请统计S的所有子串中，有多少个本质不同的回文字符串？

    cin>>s;
    pat.init();
    int len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++)pat.add(s[i]);
    ll anw=0;
    pat.count();
    cout<<pat.p-2<<endl;
    return 0;

例题5 BZOJ 2565 最长双回文串

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e5 + 7;

const int MAXN = 100005 ;  
const int N = 26 ;  

struct Palindromic_Tree {  
    //cnt最后count一下之后是那个节点代表的回文串出现的次数
    int next[MAXN][N] ;//next指针，next指针和字典树类似，指向的串为当前串两端加上同一个字符构成  
    int fail[MAXN] ;//fail指针，失配后跳转到fail指针指向的节点  
    int cnt[MAXN] ; //表示节点i表示的本质不同的串的个数（建树时求出的不是完全的，最后count()函数跑一遍以后才是正确的） 
    int num[MAXN] ; //表示以节点i表示的最长回文串的最右端点为回文串结尾的回文串个数
    int len[MAXN] ;//len[i]表示节点i表示的回文串的长度（一个节点表示一个回文串）
    int S[MAXN] ;//存放添加的字符  
    int last ;//指向新添加一个字母后所形成的最长回文串表示的节点。
    int n ;//表示添加的字符个数。
    int p ;//表示添加的节点个数。

    int newnode ( int l ) {//新建节点  
        for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;  
        cnt[p] = 0 ;  
        num[p] = 0 ;  
        len[p] = l ;  
        return p ++ ;  
    }  

    void init () {//初始化  
        p = 0 ;  
        newnode (  0 ) ;  
        newnode ( -1 ) ;  
        last = 0 ;  
        n = 0 ;  
        S[n] = -1 ;//开头放一个字符集中没有的字符，减少特判  
        fail[0] = 1 ;  
    }  

    int get_fail ( int x ) {//和KMP一样，失配后找一个尽量最长的  
        while ( S[n - len[x] - 1] != S[n] ) x = fail[x] ;  
        return x ;  
    }  

    int  add ( int c ) {  
        c -= ‘a‘ ;  
        S[++ n] = c ;  
        int cur = get_fail ( last ) ;//通过上一个回文串找这个回文串的匹配位置  
        if ( !next[cur][c] ) {//如果这个回文串没有出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串  
            int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建节点  
            fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ;//和AC自动机一样建立fail指针，以便失配后跳转  
            next[cur][c] = now ;  
            num[now] = num[fail[now]] + 1 ;  
        }  
        last = next[cur][c] ;  
        cnt[last] ++ ;  
        return len[last];
    }  

    void count () {  
        for ( int i = p - 1 ; i >= 0 ; -- i ) cnt[fail[i]] += cnt[i] ;  
        //父亲累加儿子的cnt，因为如果fail[v]=u，则u一定是v的子回文串！  
    }  
} t;
int len[maxn];
int main(int argc, char const *argv[])
{
    string str;
    cin >> str;
    t.init();
    int maxx = 0;
    for(int i = 0;i < str.size(); i ++) len[i] = t.add(str[i]);
    t.init();  
        for(int i = str.size() - 1;i > 0;i --) maxx = max(maxx,t.add(str[i]) + len[i-1]);
        cout << maxx << endl; 
    return 0;
}