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SPFA 算法

算法优点：

        1.时间复杂度比普通的Dijkstra和Ford低。

        2.能够计算负权图问题。

        3.能够判断是否有负环 (即：每跑一圈，路径会减小，所以会一直循环跑下去)。

期望的时间复杂度O(k*e)， 其中k为所有顶点进队的平均次数,e是边的数量，可以证明k一般小于等于2。

实现方法：

　　1.存入图。可以使用链式前向星或者vocter。

        2.开一个队列，先将开始的节点放入。

        3.每次从队列中取出一个节点X，遍历与X相通的Y节点，查询比对  Y的长度 和 X的长度+ X与Y的长度

            如果X的长度+ X与Y的长度 > Y的长度,说明需要更新操作。

                    1）.存入最短路。

                    2）.由于改变了原有的长度，所以需要往后更新，与这个节点相连的最短路。(即：判断下是否在队列，在就不用重复，不在就加入队列，等待更新)。

                    3）.在这期间可以记录这个节点的进队次数，判断是否存在负环。

        4.直到队空。

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环

模拟过程：

首先建立起始点a到其余各点的最短路径表格

首先源点a入队，当队列非空时：

        １、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：

在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要入队，此时队列中的元素为c，d，e

队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f

 队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g

队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e

队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b

队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：

在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了

最终a到g的最短路径为14

以上转载自：http://keyblog.cn/article-21.html

代码

int way[250][250],dis[250],vis[250],cnt[250];
//way记录路径关系，dis[i]记录起点到点j的最近距离，vis[i]标记点是否在队列中，cnt[i]记录点i进入队列的次数
int n,m;
void init()
{
    for(int i=0;i<n;i++)//先初始化way
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i==j)
                way[i][j]=0;
            else
                way[i][j]=mx;
        }
    }
}

void spfa(int st)//st是起点
{
    for(int i=0;i<n;i++)//这里点编号是从0开始的
        dis[i]=mx;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    vis[st]=1;
    cnt[st]=1;
    dis[st]=0;
    queue<int>p;
    p.push(st);
    while(!p.empty())
    {
        int now=p.front();
        p.pop();
        vis[now]=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(dis[now]+way[now][i]<dis[i])
            {
                dis[i]=dis[now]+way[now][i];
                if(vis[i]==0)//如果点不在队列里面
                {
                    p.push(i);
                    vis[i]=1;
                    cnt[i]++;
                    if(cnt[i]>n)//如果这个点加入超过n次，说明存在负圈，直接返回 
                        return ;
                }
            }
        }
    }

}

模板题：https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/11324215.html

最短路--SPFA

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原文地址：https://www.cnblogs.com/-citywall123/p/11324246.html