标签：奇数 prime basic love strong mod main struct ++
Task1：试判断能否构造并构造一个长度 $n$ 的 $1...n$ 的排列，满足其 $n$ 个前缀和在模 $n$ 的意义下互不相同
Task2：试判断能否构造并构造一个长度 $n$ 的 $1...n$ 的排列，满足其 $n$ 个前缀积在模 $n$ 的意义下互不相同。
既然考虑原数列很难，就直接考虑前缀和和前缀积。
在模 $n$ 意义下，$\{1,2,3,...n\}$ 等价于 $ \{0,1,-1,2,-2,... \}$，我们将它设为前缀和。
其次，我们可以发现 $n$ 必定出现在数列的第一位，否则 $n$ 出现前后的两个前缀和会相等。已知首项，已知前缀和，就可以推出各项。奇数不行。
总结：
当 $n$ 为奇数时，无法构造出合法解（1特判）
当 $n$ 为偶数时，可以构成形如 $n, n-1, 2, n-3, 4...$ 这样的数列
根据消元法，构造数列 $1,\frac{2}{1},\frac{3}{2},...,\frac{n-1}{n-2}$。
显然，合数没有解，因为其两个两个因子相乘之后，后面取模都为0了。
显然，首项为1，末项为n。
只需证明中间那些数是互不相同的。因为 $\frac{k+1}{k} = 1 + \frac{1}{k}$，当 $n$为质数时，每个元素都有逆元且不相同。
总结：
当 $n$ 为合数，无法构造出合法解（特判4）
当 $n$ 为质数，可以构造形如 $1,\frac{2}{1},\frac{3}{2},...,\frac{n-1}{n-2},n$.（特判1）
注意开 long long!!!
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 100000 + 10; int task, T; int n; void solve1() { if(n == 1) { printf("2 1\n"); return; } if(n&1) { printf("0\n"); return; } printf("2 %d ", n); ll pre = 0; //printf("n:%d\n", n); for(int i = 1;i < n;i++) { int tmp = ((i&1) == 0 ? 1 : -1) * ((i+1) / 2); //printf("tmp: %d\n", tmp); printf("%d", (tmp -pre+n)%n); if(i == n-1) printf("\n"); else printf(" "); pre = tmp; } } bool is_prime[maxn + 1]; void sieve(int n) { int m = (int)sqrt(n + 0.5); memset(is_prime, true, sizeof(is_prime)); is_prime[0] = is_prime[1] = false; //1是特例 for (int i = 2; i <= m; i++) if (is_prime[i]) for (int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false; } int inv[maxn]; void init_inv(int n, int mod) { inv[1] = 1; for(int i = 2;i < n;i++) inv[i] = 1LL * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod; //加mod不改变结果 } void solve2() { if(n == 1) { printf("2 1\n"); return; } if(n == 4) { printf("2 1 3 2 4\n"); return; } sieve(n); if(!is_prime[n]) { printf("0\n"); return; } init_inv(n, n); printf("2 1 "); for(int i = 2;i <= n-1;i++) printf("%d ", 1LL * i * inv[i-1] % n); printf("%d\n", n); } int main() { scanf("%d%d", &task, &T); while(T--) { scanf("%d", &n); if(task == 1) solve1(); else solve2(); } return 0; }
参考链接：
1. https://oi-wiki.org/basic/construction/
2. https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3599
P3599 Koishi Loves Construction——构造题
标签：奇数 prime basic love strong mod main struct ++
原文地址：https://www.cnblogs.com/lfri/p/11337303.html
