BZOJ 3589 动态树 树链剖分+容斥定理

标签：bzoj   树链剖分   线段树   容斥原理   

题目大意：给出一棵树，每一个节点有一个权值，一开始所有节点的权值都是0。有两种操作，0 x y代表以x为根节点的子树上所有点的权值增加y。1 k a1 b1 a2 b2 ……ak bk代表询问。一共有k条边( k <= 5)，这些边保证是一个点到根节点的路径上的一段。问这些路径段上的点的权值和是多少，可能有多条路径重叠的情况。

思路：子树修改，区间查询，很明显用树链剖分解决，树链剖分维护一个size域，那么x的子树的范围就是pos[x]到pos[x] + size[x] - 1这一段上，可以用线段树区间修改。关键是查询的时候。单查一条链肯定没什么问题。但是如果几条链有交集的话就麻烦了。但是根据容斥原理我们知道，当我们把所有的路径都加过一次之后，两个路径重合的部分就计算重了，减掉。之后三个路径重合的部分减多了，再加上……我们只要求出单个链的，两个路径重合的部分，三个路径重合的部分……这样就可以知道答案了。

如何求多个链相交呢？我们先考虑两个链相交。由于每一个路径保证是一个点到根节点的路径上的一段，那么两个链相交只有一种情况。如下图。

链1 2 3 4和2 3 5 6的交集就是2 3 。观察一下，其实3是4和6的LCA，2是两个链的顶端较深的那一个。不存在交集的情况就是链底的LCA深度深于其中的一条链的链顶。多画几个图发现真的是这样。(其实我只是不会证明罢了。。。

然后从1到1 << 5枚举取所有边的情况，计算取到n条边时的相交情况，n是计数就加上，是偶数就减去。

CODE：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 200010
#define LEFT (pos << 1)
#define RIGHT (pos << 1|1)
#define CNT (r - l + 1)
using namespace std;

pair<int,int> ask[MAX];

struct SegmentTree{
	int sum,c;
}tree[MAX << 2];

int points,asks;
int head[MAX],total;
int next[MAX],aim[MAX];

int son[MAX],size[MAX],father[MAX],deep[MAX];
int pos[MAX],top[MAX],cnt;

inline void Add(int x,int y)
{
	next[++total] = head[x];
	aim[total] = y;
	head[x] = total;
}

void PreDFS(int x,int last)
{
	father[x] = last;
	deep[x] = deep[last] + 1;
	size[x] = 1;
	for(int i = head[x]; i; i = next[i]) {
		if(aim[i] == last)	continue;
		PreDFS(aim[i],x);
		size[x] += size[aim[i]];
		if(size[aim[i]] > size[son[x]])
			son[x] = aim[i];
	}
}

void DFS(int x,int _top)
{
	pos[x] = ++cnt;
	top[x] = _top;
	if(son[x])	DFS(son[x],_top);
	for(int i = head[x]; i; i = next[i]) {
		if(aim[i] == father[x] || aim[i] == son[x])	continue;
		DFS(aim[i],aim[i]);
	}
}

inline void PushDown(int pos,int cnt)
{
	if(tree[pos].c) {
		tree[LEFT].c += tree[pos].c;
		tree[RIGHT].c += tree[pos].c;
		tree[LEFT].sum += tree[pos].c * (cnt - (cnt >> 1));
		tree[RIGHT].sum += tree[pos].c * (cnt >> 1);
		tree[pos].c = 0;
	}
}

void Modify(int l,int r,int x,int y,int pos,int c)
{
	if(l == x && r == y) {
		tree[pos].c += c;
		tree[pos].sum += CNT * c;
		return ;
	}
	PushDown(pos,CNT);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(y <= mid)	Modify(l,mid,x,y,LEFT,c);
	else if(x > mid)	Modify(mid + 1,r,x,y,RIGHT,c);
	else {
		Modify(l,mid,x,mid,LEFT,c);
		Modify(mid + 1,r,mid + 1,y,RIGHT,c);
	}	
	tree[pos].sum = tree[LEFT].sum + tree[RIGHT].sum;
}

int Ask(int l,int r,int x,int y,int pos)
{
	if(l == x && r == y)
		return tree[pos].sum;
	PushDown(pos,CNT);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(y <= mid)	return Ask(l,mid,x,y,LEFT);
	if(x > mid)		return Ask(mid + 1,r,x,y,RIGHT);
	int left = Ask(l,mid,x,mid,LEFT);
	int right = Ask(mid + 1,r,mid + 1,y,RIGHT);
	return left + right;
}

inline int Ask(int x,int y)
{
	int re = 0;
	while(top[x] != top[y]) {
		if(deep[top[x]] < deep[top[y]])
			swap(x,y);
		re += Ask(1,cnt,pos[top[x]],pos[x],1);
		x = father[top[x]];
	}
	if(deep[x] < deep[y])	swap(x,y);
	re += Ask(1,cnt,pos[y],pos[x],1);
	return re;
}

inline int GetLCA(int x,int y)
{
	while(top[x] != top[y]) {
		if(deep[top[x]] < deep[top[y]])
			swap(x,y);
		x = father[top[x]];
	}
	return deep[x] < deep[y] ? x:y;
}

inline bool Merge(pair<int,int> &a,pair<int,int> b)
{
	if(deep[a.first] < deep[a.second])	swap(a.first,a.second);
	if(deep[b.first] < deep[b.second])	swap(b.first,b.second);
	int lca = GetLCA(a.first,b.first);
	if(deep[a.second] > deep[lca] || deep[b.second] > deep[lca])	return false;
	a.first = lca;
	a.second = deep[a.second] > deep[b.second] ? a.second:b.second;
	return true;
}

inline int Calc(int cnt,int status)
{
	int p = 0;
	for(int i = 0; i < cnt; ++i)
		p += (status >> i)&1;
	p = p&1 ? 1:-1;
	pair<int,int> now(0,0);
	for(int i = 0; i < cnt; ++i)
		if((status >> i)&1) {
			if(!now.first)	now = ask[i + 1];
			else if(!Merge(now,ask[i + 1]))	return 0;
		}
 	//cout << status << ' ' << now.first << ' ' << now.second << ' ' << Ask(now.first,now.second) << ' ' << p << endl;
	return p * Ask(now.first,now.second);
}

inline int MainTask(int cnt)
{
	int re = 0;
	for(int i = 1; i <= cnt; ++i)
		scanf("%d%d",&ask[i].first,&ask[i].second);
	for(int i = 1; i < (1 << cnt); ++i)
		re += Calc(cnt,i);
	return re;
}

int main()
{
	cin >> points;
	for(int x,y,i = 1; i < points; ++i) {
		scanf("%d%d",&x,&y);
		Add(x,y);
	}
	PreDFS(1,0);
	DFS(1,1);
	cin >> asks;
	for(int flag,i = 1; i <= asks; ++i) {
		scanf("%d",&flag);
		if(!flag) {
			int x,y;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			Modify(1,cnt,pos[x],pos[x] + size[x] - 1,1,y);
		}
		else {
			int cnt;
			scanf("%d",&cnt);
			printf("%d\n",MainTask(cnt)&0x7fffffff);
		}
	}
	return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/jiangyuze831/article/details/40449567