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求对于每个点删掉1到他的最短路上的最后一条边（就是这条路径上与他自己相连的那条边）后1到他的最短路的长度。
即：最短路径树：图中的源点到所有结点的最短路径构成的树。
最短路径树在dijkstra过程中就可以求出来，因为这个过程就相当于走一棵树。
然后就是选入杂边，对于一条杂边<u，v>，它加入后会形成一个环，这个环上所有的点除了lca都可以被这条杂边更新，即这些点删去它上面那条边后是可以走杂边的，但lca删去上面那条边后图就不连通了。
那么
disnew[x]=dis[u]+dis[v]+w[i]−dis[x]
对于一条杂边，前面那三个量是一定的。 每一个点，我们希望用最小的杂边更新他，更新过后就不再更新。 于是可以按w排序杂边，依次更新，更新过后的点就用并查集缩起来，以保证每个点只被更新一次。
//要题目中说了源点到每个点最短路径是唯一的 那往往都和最短路树有关系 #include<bits/stdc++.h> #define N 100003 #define M 200003 #define INF 2100000000 using namespace std; int read() { int x=0,f=1;char s=getchar(); while(s<‘0‘||s>‘9‘){if(s==‘-‘)f=-1;s=getchar();} while(s>=‘0‘&&s<=‘9‘){x=x*10+s-‘0‘;s=getchar();} return x*f; } int tot=1,n; int head[N],dis[N],ans[N],dep[N],fa[N],pre[N],anc[N],ontree[M*2]; struct EDGE{ int nextt,to,val; }w[M*2]; struct Edge{ int u,v,val; }za[M*2]; struct qnode{ int v,c; qnode(int _v=0,int _c=0):v(_v),c(_c){} bool operator <(const qnode &r)const { return r.c<c; } }; bool cmp(const Edge &a,const Edge &b) { return a.val<b.val; } void add(int a,int b,int c) { tot++; w[tot].nextt=head[a]; w[tot].to=b; w[tot].val=c; head[a]=tot; } int get(int x) { if(fa[x]==x)return x; return fa[x]=get(fa[x]); } void dij() { priority_queue<qnode>q; for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=INF; dis[1]=0; q.push(qnode(1,0)); while(!q.empty()) { qnode e=q.top();q.pop(); int u=e.v; for(int i=head[u];i;i=w[i].nextt) { int v=w[i].to; if(dis[v]>dis[u]+w[i].val) { dis[v]=dis[u]+w[i].val; pre[v]=i;anc[v]=u;dep[v]=dep[u]+1; q.push(qnode(v,dis[v])); } } } } int main() { n=read();int m=read(); for(int i=1;i<=m;++i) { int a=read(),b=read(),c=read(); add(a,b,c);add(b,a,c); } dij(); for(int i=2;i<=n;++i)ontree[pre[i]]=1; for(int i=1;i<=n;++i)fa[i]=i,ans[i]=INF; int cnt=0; for(int i=2;i<=tot;++i) if(!ontree[i]&&!ontree[i^1]) { za[++cnt].u=w[i].to; za[cnt].v=w[i^1].to; za[cnt].val=dis[w[i].to]+dis[w[i^1].to]+w[i].val; } sort(za+1,za+1+cnt,cmp); for(int i=1;i<=cnt;++i) { int u=za[i].u,v=za[i].v; u=get(u);v=get(v); while(u!=v) { if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);//从下往上并上去 ans[u]=min(ans[u],za[i].val-dis[u]); u=fa[u]=get(anc[u]); } } for(int i=2;i<=n;++i) { if(ans[i]<INF)printf("%d\n",ans[i]); else printf("-1\n"); } }
[USACO09JAN]安全出行Safe Travel（最短路径树）
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