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【还是畅通工程 HDU - 1233】【Kruskal模板题】

时间:2019-08-22 23:53:58      阅读:60      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:algorithm   kruskal算法   std   detail   关于   algo   https   就会   nta   

Kruskal算法讲解

该部分内容全部摘录自刘汝佳的《算法竞赛入门经典》

Kruskal算法的第一步是给所有边按照从小到大的顺序排列。 这一步可以直接使用库函数
qsort或者sort。 接下来从小到大依次考查每条边(u,v)。
情况1: u和v在同一个连通分量中, 那么加入(u, v)后会形成环, 因此不能选择。
情况2: 如果u和v在不同的连通分量, 那么加入(u, v)一定是最优的。 为什么呢? 下面用
反证法——如果不加这条边能得到一个最优解T, 则T+(u, v)一定有且只有一个环, 而且环中
至少有一条边(u‘ , v‘)的权值大于或等于(u,v)的权值。 删除该边后, 得到的新树T‘=T+(u, v)-(u‘,
v‘)不会比T更差。 因此, 加入(u, v)不会比不加入差。
下面是伪代码:

把所有边排序, 记第i小的边为e[i]( 1<=i<m)
初始化MST为空
初始化连通分量, 让每个点自成一个独立的连通分量
for(int i = 0; i < m; i++)
if(e[i].u和e[i].v不在同一个连通分量) {
把边e[i]加入MST
合并e[i].u和e[i].v所在的连通分量
}

在上面的伪代码中, 最关键的地方在于“连通分量的查询与合并”: 需要知道任意两个点
是否在同一个连通分量中, 还需要合并两个连通分量。这就用到了并查集。可以把每个连通分量看成一个集合, 该集合包含了连通分量中的所有点。 这些点两两连通, 而具体的连通方式无关紧要, 就好比集合中的元素没有先后顺序之分, 只有“属于”和“不属于”的区别。 在图中, 每个点恰好属于一个连通分量, 对应到集合表示中, 每个元素恰好属于一个集合。 换句话说, 图的所有连通分量可以用若干个不相交集合来表示。
并查集的精妙之处在于用树来表示集合。 例如, 若包含点1, 2, 3, 4, 5, 6的图有3个
连通分量{1,3}、 {2,5,6}、 {4}, 则需要用3棵树来表示。 这3棵树的具体形态无关紧要, 只要
有一棵树包含1、 3两个点, 一棵树包含2、 5、 6这3个点, 还有一棵树只包含4这一个点即
可。 规定每棵树的根结点是这棵树所对应的集合的代表元( representative) 。
如果把x的父结点保存在p[x]中( 如果x没有父结点, 则p[x]等于x) , 则不难写出“查找结
点x所在树的根结点”的递归程序: int find(int x) { p[x] == x ? x : find(p[x]); }, 通俗地讲就是:
如果p[x]等于x, 说明x本身就是树根, 因此返回x; 否则返回x的父结点p[x]所在树的树根。
问题来了: 在特殊情况下, 这棵树可能是一条长长的链。 设链的最后一个结点为x, 则
每次执行find(x)都会遍历整条链, 效率十分低下。 看上去是个很棘手的问题, 其实改进方法
很简单。 既然每棵树表示的只是一个集合, 因此树的形态是无关紧要的, 并不需要在“查
找”操作之后保持树的形态不变, 只要顺便把遍历过的结点都改成树根的子结点, 下次查找
就会快很多了。
技术图片

关于并查集的更深一步了解可以看一下这个博文

题目讲解及AC代码

题目讲解

这个题目不难看出是个寻找最短路的问题,用Kruskal算法+并查集比较合适

AC代码

/*Kruskal算法*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 100 + 10;
int N, father[maxn];
struct Road
{
    int _st, _en, _dist;
};
Road r[maxn*maxn];
bool cmp(Road a, Road b)
{
    return a._dist < b._dist;
}
int Find(int root)
{
    if(root != father[root])
        father[root] = Find(father[root]);
    return father[root];
}
int main()
{
//    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
    while(cin >> N && N)
    {
        for(int i = 1; i <= N; i++)
            father[i] = i;
        for(int i = 0; i < N * (N - 1) / 2; i++)
            cin >> r[i]._st >> r[i]._en >> r[i]._dist;
        sort(r, r + N*(N-1)/2, cmp);
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < N * (N - 1) / 2; i++)
        {
            int st_ = r[i]._st, en_ = r[i]._en;
            int x = Find(st_), y = Find(en_);
            if(x != y )
            {
                ans += r[i]._dist;
                father[x] = y;
            }
        }
        cout << ans << endl;

    }
}

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原文地址:https://www.cnblogs.com/KeepZ/p/11397368.html

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