标签：个数 函数 为我 提取 重要 成功 质数 分配 欧拉函数
之前我们自学欧拉函数的时候，一直都是一脸懵逼的，可能是我智力的问题吧（我就是一个小小的蒟蒻），后来问了一些大佬，然后又不停的查百度才懂的。。。。（有问题，问度娘）
言归正传，现在开始讲欧拉函数：
序：欧拉函数实际上就是求一个数与他互质的数的个数（肯定要小于他自己啦！），我们表示为$\varphi (n)$
这个其实是可以理解的，我们已经知道：素数n的phi实际上就是n-1，为什么呢？因为除了他自己，其他比他小的数都与他互质嘛，其实这也是一个质数特性。然而$1-\frac{1}{pi}$其实就相当于分率，因为我们已知pi就是质数了，而质数的一大堆特性我们都可以搬过来用，pi只有他自己不与他互质，而剩下的就都与他互质啦！所以就是1-1/pi嘛，然后我们将所有的分率乘起来，最后再乘一个n，那么就是$\varphi(n)$啦！
介个也可以证明：我们令n=pq，那么$\varphi (n)=n-\frac{n}{q}-\frac{n}{p}+\frac{n}{q+p}$
然后你再化简，就会得到$\varphi (n)=n(1-\frac{1}{p1})(1-\frac{1}{p2})...*(1-\frac{1}{pn})$
这个也是很好理解的，我上面已经讲了。
3.接着，我们设$n={p}^k$，也就是说n能分成若干个相同的数相乘，那么我们就开始来研究phi(n)吧！
首先$\varphi(n)=\varphi(p^k)=n-\frac{n}{p}$（因为n除了p的倍数，剩下的数都与他互质嘛，例如$8=2^3$，8除了2,4,6,8【我们这里暂且包括8，因为后面我们是用8来减得】，剩下的数都与他互质了呀！而p的倍数的个数就是$\frac{n}{q}$呀）=$p^k- \frac{p^k}{p}=p^k-p^{(k-1)}$
这里，我们两个式子都提取出$p^{(k-1)}$，然后就成为$p^{(k-1)}p-p^{(k-1)}1$，太好了，可以乘法分配律，就是$p^{(k-1)}*(p-1)$
这个式子很重要，后面的证明都需要！
4.啊哈，如果你看到这里并且很理解前面的公式的话，那么就恭喜你，你离成功已经很近了！
这里我们设a和b互质，事实证明
为什么捏？我们令$n=p1^{a1}p2^{a2}....pn^{an}$【并且pi为质数】
∵$\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p1})(1-\frac{1}{p2})......(1-\frac{1}{pn})$【pi为质数】
∴原式=$(p1^{a1}p2^{a2}....pn^{an})(1-\frac{1}{p1})(1-\frac{1}{p2})......(1-\frac{1}{pn})$
=$(p1^{a1}p2^{a2}....pn^{an})(p1-1)(p2-1)......(pn-1)/(p1p2.....pn)$
=$[(p1-1)*p1^{(a1-1)}][(p2-1)*p2^{(a2-1)}].....[(pn-1)*pn^{(an-1)}]$
=$\varphi(p1^{a1})\varphi(p2^{a2})....\varphi(pn^{an})$【根据上面3的公式】
这样我们就发现$\varphi(p1^{a1})\varphi(p2^{a2})....\varphi(pn^{an})=\varphi(p1^{a1}p2^{a2}....pn^{an})$
啊，太有趣了，那么也就是说：当几个数中相互互质的话，那么phi就是积性函数，所以就是上面的$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$【abs(a,b)=1】
5.最后一个公式了，恭喜你啊，你就要成功了!
当a mod b=0时，$\varphi(ab)=\varphi(a)b$
这个很简单就可以证明：由上面所说，b并到其中一个$b^x$里面，那么$\varphi(a)=\varphi(b^x)=(b-1)b^{(x-1)}$
然后$\varphi(ab)=\varphi(b^xb)=\varphi(b^{(x+1)})=(b-1)b^x$
$(b-1)b^{(x-1)}b=(b-1)b^x$
∴$\varphi(a)b=\varphi(a*b)$
奶思，成功啦，代码就是在线性素数上改一下：
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原文地址：https://www.cnblogs.com/candy067/p/11401966.html
