HDU - 6715 - 算术 = 莫比乌斯反演

标签：uri   ref   href   inline   开始   sum   预处理   http   题意   

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6715

题意：

求：\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\mu(lcm(i,j))\)，其中n,m是1e6范围内，10组。

不会，想了很久，也不知道假在哪里。大概是一开始方向就错了。

正解：

所求：\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\mu(lcm(i,j))\)

即：\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\mu(\frac{i*j}{gcd(i,j)})\)

枚举g：\(\sum\limits_{g=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\mu(\frac{i*j}{g})*[gcd(i,j)==g]\)

由一个显然的事实：\(\mu(xy)=\mu(x)*\mu(y)*[gcd(x,y)==1]\)

代进去：\(\mu(\frac{i}{g}*j)=\mu(\frac{i}{g})*\mu(j)*[gcd(\frac{i}{g},j)==1]\) 后面那项显然为1

即：\(\sum\limits_{g=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\mu(\frac{i}{g})*\mu(j)*[gcd(\frac{i}{g},j)==1]*[gcd(i,j)==g]\)

同理：\(\mu(j)=\mu(\frac{j}{g}*g)=\mu(\frac{j}{g})*\mu(g)*[gcd(\frac{j}{g},g)==1]\)

即：\(\sum\limits_{g=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\mu(\frac{i}{g})*\mu(\frac{j}{g})*\mu(g)*[gcd(\frac{j}{g},g)==1]*[gcd(i,j)==g]\)

即：\(\sum\limits_{g=1}^{N}\mu(g)\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(\frac{i}{g})\sum\limits_{j=1}^{m}\mu(\frac{j}{g})*[gcd(\frac{j}{g},g)==1]*[gcd(i,j)==g]\)

即：\(\sum\limits_{g=1}^{N}\mu(g)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{g}}\mu(i)\sum\limits_{j=1}^{\frac{m}{g}}\mu(j)*[gcd(j,g)==1]*[gcd(i,j)==1]\)

即：\(\sum\limits_{g=1}^{N}\mu(g)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{g}}\mu(i)\sum\limits_{j=1}^{\frac{m}{g}}\mu(j)*[gcd(gcd(i,j),g)==1]\)

莫比乌斯反演：\(\sum\limits_{g=1}^{N}\mu(g)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{g}}\mu(i)\sum\limits_{j=1}^{\frac{m}{g}}\mu(j)\sum\limits_{k|gcd(gcd(i,j),g)}\mu(k)\)

即：\(\sum\limits_{k=1}^{N}\mu(k)\sum\limits_{g=1}^{N}\mu(g)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{g}}\mu(i)\sum\limits_{j=1}^{\frac{m}{g}}\mu(j)*[k|i]*[k|j]*[k|g]\)

一般是像上面那样变的，但是这里我们要把k放进去：\(\sum\limits_{k=1}^{N}\mu(k)\sum\limits_{g=1}^{\frac{N}{k}}\mu(gk)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{gk}}\mu(ik)\sum\limits_{j=1}^{\frac{m}{gk}}\mu(jk)\)

为了简单，记：\(S(N,k)=\sum\limits_{i=1}^{\frac{N}{k}}\mu(ik)\)

那么上式就变成：\(\sum\limits_{k=1}^{N}\mu(k)\sum\limits_{g=1}^{\frac{N}{k}}\mu(gk)*S(\frac{n}{g},k)*S(\frac{m}{g},k)\)

那么枚举k，然后预处理S(N,k)，再暴力算就可以了。

HDU - 6715 - 算术 = 莫比乌斯反演

标签：uri   ref   href   inline   开始   sum   预处理   http   题意   

原文地址：https://www.cnblogs.com/Inko/p/11407474.html