标签：col typedef 时空 $1 i++ namespace size lse 接下来
求 $f(n,a,b)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\%(10^9+7)$，$1 \le n,a,b \le 10^9$，共有 $T$ 组测试，其中只有10组的 $n$ 大于 $10^6$.
首先，当 $i, j$互质，$a, b$互质时，有 $gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j$（证明见 链接），也可以打表猜一猜嘛。
可以推出：$$\sum_{d=1}^{N}\mu(d)\cdot d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{i}(i-j)$$
单独考虑后半部分，$\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{i}(i-j)=\frac{k^3-k}{6}$.
然后，只剩下左边的 $\mu(d)\cdot d$,
将其与恒等函数 $Id(n) = n$ 狄利克雷卷积后得
$$\begin{align*}
(\mu(d)\cdot d)*Id(d)
& = \sum_{d|n}(\mu(d)\cdot d)\cdot Id(\frac{n}{d})\\
& = \sum_{d|n}\mu(d) = [n=1]
\end{align*}$$
接下来套杜教筛得公式
$$\begin{align*}
S(n)
& = \sum\limits_{i=1}^n [i=1]-\sum\limits_{i=2}^ni\cdot S(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)\\
& = 1-\sum\limits_{i=2}^ni\cdot S(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor)
\end{align*}$$
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 6e6 + 10; const ll mod = 1e9+7; const ll inv6 = 166666668; int sum[maxn], mu[maxn], pri[maxn], pn; bool vis[maxn]; map<int, int>mp_sum; int n, a, b; ll s2(ll i, ll j) { return (i+j) * (j-i+1) / 2 % mod; } ll s3(ll k) { return (k*k%mod - 1) * k % mod * inv6 % mod; } ll S(ll x) { if(x < maxn) return sum[x]; if(mp_sum[x]) return mp_sum[x]; ll ret = 1LL; for(int i = 2, j;i <= x;i = j+1) { j = x / (x / i); ret = (ret - s2(i, j) * (S(x/i))%mod) % mod; } return mp_sum[x] = (ret + mod) % mod; } void pre() { mu[1] = 1; for(int i = 2;i < maxn;i++) { if(!vis[i]) { pri[++pn] = i; mu[i] = -1; } for(int j = 1;j <= pn && i * pri[j] < maxn; j++) { vis[i * pri[j]] = true; if(i % pri[j]) mu[i * pri[j]] = -mu[i]; else { mu[i * pri[j]] = 0; break; } } } for(int i = 1;i < maxn;i++) sum[i] = (sum[i-1] + i * mu[i]) % mod; } int main() { pre(); int T; scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%d%d%d", &n, &a, &b); ll ans = 0; for(ll l = 1,r; l <= n;l = r+1) { r = n / (n / l); ans = (ans + (S(r) - S(l-1)) * s3(n/l)) % mod; } printf("%lld\n", (ans+mod)%mod); } return 0; }
最开始开的 MAXN=2e6，会TLE；原博客开的6e6，又MLE，将long long 数组改成 int 才行。
其实标答是推成 $\displaystyle ans = \frac{\sum _{i=1}^n i\varphi (i) - 1}{2}$，少了一次整除分块。
但是，通过这种解法，让我深刻认识了杜教筛的时空矛盾该怎么平衡。
参考链接：https://segmentfault.com/a/119000002017183
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lfri/p/11410031.html
