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本文先介绍凸函数的4种定义方式，然后介绍一些凸函数。
\(f: R^n \rightarrow R\)为凸函数，等价于：\(dom f\)为凸，且
\[\forall x,y \in dom f, 0 \leq \theta \leq 1\]
有
\[f(\theta x + (1-\theta)y) \leq \theta f(x) + (1 - \theta)f(y)\]
若\(f：R^n \rightarrow R\)为凸，等价于：
\(dom f\)为凸，\(\forall x \in dom f, \forall v\)，
\[g(t) = f(x + tv)\]
为凸函数，\(dom g=\{t|x+tv \in dom f\}\)
设\(f: R^n \rightarrow R\)可微，即梯度\(\bigtriangledown f\)在\(dom f\)上均存在，则\(f\)为凸函数等价于：
\(dom f\)为凸。
\(f(y) \geq f(x) + \bigtriangledown f^T(x)(y-x), \forall x,y \in dom f\)
\[f: R^n \leftarrow R, dom f \in R^n\]
\[f(x)=\frac{1}{2}x^TPx + q^Tx + r\]
求其黑塞矩阵：\(\bigtriangledown^2 f(x)=P\)，当\(P>0\)的时候，二次函数就是凸函数。
\[f(x)=\frac{1}{x^2}, x \not= 0, x \in R\]
其二阶倒数\(f^{``}(x)=6x^{-4}>0\)，虽然二阶导大于0，但是这个函数并不是凸函数。主要原因是因为：要定义域是凸集，且二阶导大于0的函数才是凸函数。这里定义域不是凸集。
\[f(x)=Ax + b, \bigtriangledown^2f(x)=0\]
故仿射函数即时凸函数，也是凹函数。
\[f(x)=e^{ax}, x\in R\]
\[f^{``}(x)=a^2 e^{ax} > 0\]
故指数函数是凸函数。
\[f(x)=x^a, x \in R_{++}\]
\[f^{``}(x)=a(a-1)x^{a-2}\]
\[
\bigtriangledown^2f(x) =
\begin{cases}
\geq 0, a \geq 1 或 a \leq 0 \ \leq 0, 0 \leq a \leq 1
\end{cases}
\]
\[f(x) = |x|^p, x\in R\]
\[ f^{``}(x) = \begin{cases} p(p-1)x^{p-2}, x \geq 0 \ p(p-1)(-x)^{p-2}, x < 0 \end{cases} \]
当\(p\geq 1\)时，该函数为凸函数。
\[f(x)=log(x), x\in R_{++}\]
\[f(x)=xlogx , x \in R_{++}\]
下面给出范数的定义：
\(R^n\)空间的范数\(p(x), x\in R^n\)，满足三个性质：
零范数的定义是：\(||x||_0=非零元素的数目\)
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原文地址：https://www.cnblogs.com/shenhaojing/p/11436920.html
