标签：集合 下标 转化 去掉 等价 pos 一个 字典 line
给一个长度为\(N\)的排列\(P\)与一个正整数\(K\)，可以进行如下操作：
对于两个满足\(|i-j|\geq K\) 且\(|P_i-P_j|=1\)的下标\(i\)和\(j\)，交换\(P_i\)与\(P_j\)
我们的目的是要求操作后的排列字典序最小
首先，这两个条件都不好判断，直接做是不太好搞的
考虑把这个数组映射一下（这好像是对于排列的一个常见套路？）
令\(pos[P_i]=i\)，即元素\(P_i\)的位置为\(i\)
我们对\(pos\)数组进行操作，操作就转化为了：
可以交换两个相邻元素，并且相邻元素的差的绝对值\(\geq K\)
我们可以发现，如果我们要求\(P\)的字典序最小，实际上与要求\(pos\)的字典序最小是等价的，因为\(\lfloor\)靠前的权值尽量小\(\rceil\)与\(\lfloor\)权值较小的尽量靠前\(\rceil\)这两个要求是等价的
我们发现，对于两个元素\(i,j,i<j\)，如果\(|i-j|<K\)，那么它们的相对位置永远不会改变
也就是说无论进行多少次交换，如何交换，\(i\)一定会在\(j\)之前
这就启发我们用拓扑排序进行求解，在多种拓扑序方案中选择字典序最小的一个即可，这里用优先队列实现
那么接下来的任务就是建图了
为了避免重复连边，我们规定一个元素仅能向其后面的元素连边
考虑连边的意义，若存在一条有向边\(E(u,v)\)，说明\(u,v\)之间的相对顺序已经确定即\(v\)在\(u\)之后
对于一个元素\(x\)，它会向值域为\((x-K,x)\cup (x,x+K)\)的元素连边，并且要求这些元素的初始位置在\(x\)之后
但是这样暴力连边，边的数量是\(O(N^2)\)级别的
我们可以发现，相对顺序是有传递关系的，比如说对于三条边\(A \rightarrow B, B\rightarrow C,A\rightarrow C\)，第三条边完全可以被前两条边替代，那么它就是无效的
为了去掉这些无效的边，我们规定\(x\)只向值域为\((x-K,x)\)与\((x,x+K)\)中的位置在\(x\)之后且最小的元素连边
这是因为我们可以发现由于这两个集合的大小均不超过\(K\)，那么它们内部一定是互有连边的
那么我们只需要连一个位置最靠前的元素，就可以根据这个元素扩张到整个集合了
找到这个元素可以用线段树实现
还没码。。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/VeniVidiVici/p/11437438.html
