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ACM-ICPC 2018 徐州赛区网络赛

?去年博客记录过这场比赛经历：该死的水题

?一年过去了，不被水题卡了，但难题也没多做几道。水平微微有点长进。

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D. Easy Math

题意：

? 给定 \(n\), \(m\) ，求 \(\sum _{i=1}^{m} \mu(in)\) 。其中 $ 1 \le n \le 1e12$ , $ 1 \le m \le 2e9$ ，\(\mu(n)\) 为莫比乌斯函数。
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思路：

? 容易知道，\(i\) 与 \(n\) 不互质时， \(\mu(in)\) 恒为0。又由于互质时，\(\mu(in) = \mu(i) \mu(n)\) 。
? 设 \[F(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\mu(i\cdot n)\]
? 则有\[F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{i=1}^{m}\mu (i)\cdot[gcd(i,n)==1]\]
? 由\[\sum_{d|n}^{ } \mu(d)=[n==1]\]
\[F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{i=1}^{m}\mu (i) \cdot \sum_{d|gcd(i,n)}^{ }\mu(d)\]
\[F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{d|n}^{d\leqslant m}\mu(d)\cdot\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\mu(i\cdot d)\]
\[F(n,m)=\mu(n)\cdot\sum_{d|n}^{d\leqslant m}\mu(d)\cdot F(d,\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)\]
?推出递推式后，可以递归求解。
?当n=1时，有 \(muSum(n)=\sum_{i=1}^{m}\mu(i)\) ，这个和式利用莫比乌斯反演（杜教筛），结果为 \(muSum(n)=1-\sum_{i=2}^{n}muSum(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\)，详见我的博客。
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AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<unordered_map>
using namespace std;
const int maxn = 2000000;
typedef long long ll;

ll prime[maxn+5];
int tot;
bool vis[maxn+5];
ll mu[maxn+5];
ll Smu[maxn+5];

void getP(int n) {
    vis[1] = 1;
    mu[1] = 1;
    prime[0] = 1;
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) {
            prime[++tot] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++) {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j])
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            else {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=maxn;i++) {
        Smu[i] = Smu[i-1] + mu[i];
    }
}

unordered_map<int, ll> Sum;
ll muSum(ll n) {
    if(n<=maxn) return Smu[n];
    if(Sum.count(n)) return Sum[n];
    
    ll res = 0;
    for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1) {
        r = n/(n/l);
        res += (r+1-l) * muSum(n/l);
    }
    return Sum[n] = 1-res;
} 
ll getmu(ll n) {
    if(n<=maxn) return mu[n];
    ll k = 1;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++) {
        if(n%i==0) {
            if(n%(i*i)==0)
                return 0;
            k *= -1;
            n /= i;
        }
    }
    if(n>1)
        k *= -1;
    return k;
}
ll f(ll m, ll n) {
    if(m==0) return 0;
    if(m==1) return getmu(n);
    if(n==1) return muSum(m);
    
    ll res = 0;
    for(ll d=1;d*d<=n && d<=m;d++) {
        if(n%d==0) {
            res += getmu(d)*f(m/d, d);
            if(n/d<=m) res += getmu(n/d)*f(m/(n/d), n/d);
        }
    }
    return getmu(n)*res;
}


ll m, n;
int main() {
    getP(maxn);
    cin>>m>>n;
    cout<<f(m, n)<<endl;

    
    return 0;
}

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F. Features Track

题意：

?给出 \(n\) 个时刻（帧）猫的状态，每个状态用 \(<a, b>\) 表示。如果相同的状态在多个连续时刻出现，则构成了一种运动。求最长的这种运动。

?

思路：

?签到题，SLT map pair的使用。注意状态去重！！！
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AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
map<pii, int> S;

int id;
const int maxn = 100100;
vector<int> arr[maxn];

int ID(pii a) {
    if(S.find(a)!=S.end()) return S[a];
    return S[a]=++id;
}

int main() {
    int t; cin>>t;
    while(t--) {
        int n, k, maxid = 0;
        scanf("%d", &n);
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            scanf("%d", &k);
            while(k--) {
                int a, b;
                scanf("%d %d", &a, &b);
                int id = ID(make_pair(a, b));
                arr[id].push_back(i);
          //      cout<<id<<' '<<i<<endl;
                maxid = max(maxid, id);
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i=1;i<=maxid;i++) {
            if(arr[i].size()==0) continue;
            else if(arr[i].size()==1) {
                ans = max(ans, 1);
                continue;
            }
            sort(arr[i].begin(), arr[i].end());
            unique(arr[i].begin(), arr[i].end());  // 去重！！！

            int now = 1;
            for(int j=1;j<arr[i].size();j++) {
                if(arr[i][j]==arr[i][j-1]+1) {
                    ans = max(ans, ++now);
                } else {
                    now = 1; 
                }

            }
        }
        printf("%d\n", ans);
        
        id = 0;
        S.clear();
        for(int i=1;i<=maxid;i++)
            arr[i].clear();
    }
    
    return 0;
}

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H. Ryuji doesn‘t want to study

题意：

?有 \(n\) 本书，每本书分别有 \(a[i]\) 的知识点。看书从 \(l\) 到 \(r\) 能得到的知识点为 \(a[l]×L+a[l+1]×(L?1)+?+a[r?1]×2+a[r]\) ，其中 \(L = r - l + 1\) 。有 次询问，询问分为两种 1. 询问\([l, r]\) 区间的知识点。 2. 将第 \(b\) 本书知识点改为 \(c\) 。
?

思路：

??稍微推导一下公式，可以发现可以维护两段前缀和 \(sum1[n] = \sum_{1}^{n} a_i\) 与 \(sum2[n] = \sum_{1}^{n} ia_i\) ，那么\(ans[l, r] = (sum2[r]-sum2[l-1]) - (n-r)(sum2[r]-sum2[l-1])\) ，于是用树状数组很快就写出来了。
??注意add函数里应该为 \(x\le n\) ，开始写小于WA了一发。。。
??改成线段树，爆了 ll 又WA了一次

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AC代码：

树状数组写法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100100;

ll C1[maxn];
ll C2[maxn];
int n, q;
ll arr[maxn];

void add(ll C[], int x, ll val) {
    while(x<=n) {
        C[x] += val;
        x += lowbit(x);
    }
}

ll sum(ll C[], int x) {
    ll res = 0;
    while(x) {
        res += C[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

int main() {
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        ll val;
        scanf("%lld", &val);
        arr[i] = val;
        add(C1, i, val);
        add(C2, i, val*(n+1-i));
    }
    
    while(q--) {
        int op;
        ll l, r;
        scanf("%d %lld %lld", &op, &l, &r);
        if(op==1) {
            ll Sum1 = sum(C2, r) - sum(C2, l-1);
            ll Sum2 = sum(C1, r) - sum(C1, l-1);
            printf("%lld\n", Sum1 - Sum2*(n-r));
        } else {
            add(C1, l, r-arr[l]);
            add(C2, l, (r-arr[l])*(n+1-l));
            arr[l] = r;
        }
    }
    return 0;
}

?

线段树写法

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

#define lson rt<<1, l, mid
#define rson rt<<1|1, mid+1, r
#define MID (l+r)>>1
const int maxn = 100010;
typedef long long ll;

ll t1[maxn<<2];
ll t2[maxn<<2];
ll arr[maxn];
int n;

void build(ll t[], bool f, int rt, int l, int r) {
    if(l==r) {
        if(f)
            t[rt] = arr[l];
        else
            t[rt] = arr[l]*(n+1-l);
        return;
    }
    int mid = MID;
    build(t, f, lson);
    build(t, f, rson);
    t[rt] = t[rt<<1] + t[rt<<1|1];
}

void update(ll t[], int pos, ll val, int rt, int l, int r) {
    if(l==r) {
        t[rt] += val;
        return;
    }

    int mid = MID;
    if(pos<=mid)
        update(t, pos, val, lson);
    else
        update(t, pos, val, rson);

    t[rt] = t[rt<<1] + t[rt<<1|1];
}


ll query(ll t[], int L, int R, int rt, int l, int r) {
    if(L<=l && R>=r) {
        return t[rt];
    }

    ll ans = 0;
    int mid = MID;
    if(L<=mid)
        ans += query(t, L, R, lson);
    if(mid<R)
        ans += query(t, L, R, rson);
    return ans;
}


int main() {
    int q;
    scanf("%d %d", &n, &q);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lld", &arr[i]);
    }

    build(t1, 1, 1, 1, n);
    build(t2, 0, 1, 1, n);

    while(q--) {
        int op;
        ll l, r;
        scanf("%d %d %d", &op, &l, &r);
        if(op==1) {
            ll sum1 = query(t1, l, r, 1, 1, n);
            ll sum2 = query(t2, l, r, 1, 1, n);
            sum2 -= sum1 * (n-r);
            printf("%lld\n", sum2);
        } else {
            update(t1, l, r-arr[l], 1, 1, n);
            update(t2, l, (r-arr[l])*(n+1-l), 1, 1, n);

            arr[l] = r;
        }
    }
    return 0;
}

?

I. Characters with Hash

题意：

? 水题，签到。
?

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

char str[1000100];
int main() {
    int t; cin>>t;
    while(t--) {
        int n; char c;
        cin>>n>>c;
        scanf("%s", str);
        int s = 0;
        while(s<n && str[s]==c) ++s;
        if(s==n) {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(abs(str[s]-c)>=10) {
            printf("%d\n", (n-s)*2);
        } else {
            printf("%d\n", (n-s)*2-1);
        }
    }
    return 0;
}