POJ 1160 Post Office(四边形不等式优化)

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四边形不等式

函数w满足

1: 区间包含的单调性,对于\(x1<x2<y1<y2\),有\(w[x2][y1] < w[x1][y2]\)
2: 四边形不等式,对于\(x1<x2<y1<y2\),有\(w[x1][y1]+w[x2][y2] < w[x1][y2]+w[x2][y1]\)

则函数m(其最优选择)也满足四边形不等式.

对于满足四边形不等式的函数,是满足单调性的(x方向单调,y方向也单调),可以通过判断dp是否满足四边形不等式,也可以用来优化转移区间

对于形如 \(dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j])(i\leq k\leq j) + w[i][j]\) 的区间dp转移一般复杂度为O(n^3)的,
但若\(dp[i][j]\)满足四边形不等式,则其\(s[i][j]\)(使dp[i][j]最小的k)也满足四边形不等式,即可有O(n^2)的转移
\(dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j])(s[i][j-1]\leq k\leq s[i+1][j])+w[i][j]\)

石子合并

• 题意: 有一圈石子,每次可以合并相邻的两个,得到一个新石子,其权重为原来两个石子权和,记为该次合并的得分,问将一圈石子合并成一堆的最小与最大得分
• 思路: 区间dp,最小值满足四边形不等式,最大值不满足,因为是一圈,要断环为链跑1~2n上的合并

using namespace std;
const int N = 200+10;

int n;
int a[N],sum[N];
int dp[N][N],s[N][N];
int ans1 = 1<<30,ans2= 0;
int main(){
    while(scanf("%d",&n)==1){
    for(int i=1;i<=n;++i)   scanf("%d",&a[i]),a[i+n]=a[i];
    for(int i=1;i<=n*2;++i) sum[i] = sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=n*2;++i) dp[i][i]=0,s[i][i] = i;
    for(int len=2;len<=n;++len){
        for(int i=1;i+len-1<=n*2;++i){
            int j = i+len-1;
            dp[i][j] = 1<<30;
            for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];++k){
                int val = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1];
                if(val < dp[i][j]){
                    dp[i][j] = val;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    ans1 = dp[1][n];
    for(int i=1;i<=n;++i)   ans1 = min(ans1,dp[i][i+n-1]);
    for(int i=1;i<=n*2;++i) dp[i][i]=0;
    for(int len=2;len<=n;++len){
        for(int i=1;i+len-1<=n*2;++i){
            int j = i+len-1;
            dp[i][j] = 0;
            for(int k=i;k<j;++k){
                int val = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1];
                if(val > dp[i][j]){
                    dp[i][j] = val;
                }
            }
        }
    }
    ans2 = dp[1][n];
    for(int i=1;i<=n;++i)   ans2 = max(ans2,dp[i][i+n-1]);
    printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);   
    }
    return 0;
}

POJ 1160 Post Office

• 题意: 一条直线上n个点,要选m个点,求每个点距离选择点总和的最小值
• 思路: 先算l到r只选一个房子的距离,然后区间dp枚举k,前面选m-1个房子,后面选1个房子,k需要用四边形不等式优化

当前dis可以通过前一个dis和当前点位置O(1)计算出

const int N = 300+10, M = 32;

int n,m,pos[N],dis[N][N];   // i到j选一个点作为邮局最短距离
int dp[N][M],s[N][M];       // 1到i选j个点作为邮局的最短距离,和最优转移点

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;++i)   scanf("%d",&pos[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        dis[i][i] = 0;
        for(int j=i+1;j<=n;++j){    // 两点之间肯定要选中位数所在点
            dis[i][j] = dis[i][j-1] + pos[j] - pos[(i+j)>>1];   // dis只增加了右端点到中间点的距离
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        dp[i][1] = dis[1][i],s[i][1] = 0;   // 初始化  1到i选一个点的最短距离即为 dis[1][i], 而只选了一个点没有转移点
    //  s[j][i-1] <=  s[j][i] <= s[j+1][i]   j从大到小,i从小到大    
    for(int i=2;i<=m;++i){  // 当前选了几个点
        s[n+1][i] = n;      // 这个值不会被计算,但要被用到,赋为n
        for(int j=n;j>i;--j){   // 当前有几个房子
            dp[j][i] = 1<<30;
            for(int k=s[j][i-1];k<=s[j+1][i];++k){
                int val = dp[k][i-1] + dis[k+1][j];
                if(dp[j][i]> val) dp[j][i] = val, s[j][i] = k;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][m]);
}

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