ARC102E - Stop. Otherwise... 组合计数

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枚举 \(i\)，然后可以把 \(j\) 和 \(i - j\) 绑定成一对。把一对看成一个整的元素，与别的没有被绑定的数一起来参与选择就可以了。

但是由于实际上一对中的数是可以二选一的，所以不妨令 \(t\) 表示一组方案中出现的对的数的个数，那么有 \(t\) 对数至少出现一次的选择方法的方案数就还需要乘上 \(2^t\)。

令 \(s\) 表示原来的 \(k\) 个数去掉所有的被绑定的对以后的值域的大小，由插板法可以求出，出现了 \(t\) 个对的方案数为：
\[ \binom{k}{j}\binom{n+s-1}{t+s-1}\cdot2^t \]
另外，如果 \(i\) 是偶数，那么 \(\frac i2\) 只能出现一次。可以枚举有没有出现，将之转化为两个子问题。

#include<bits/stdc++.h>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b , 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b , 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;

template<typename I>
inline void read(I &x) {
    int f = 0, c;
    while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
    x = c & 15;
    while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
    f ? x = -x : 0;
}

const int N = 4000 + 7;
const int P = 998244353;

int n, k;
int C[N][N];

inline int smod(int x) { return x >= P ? x - P : x;}
inline void sadd(int &x, int y) { x += y; x >= P ? x -= P : x; }
inline void ycl(int n) {
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) C[i][j] = smod(C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]);//, dbg("C(%d, %d) = %d\n", i, j, C[i][j]);
    }
}

inline int calc(int n, int i, int k) {
    int ans = 0;
    int lim = std::min(i - 1, k) - (i / 2 + 1) + 1, ss = k - (lim << 1), mul = 1;
//  dbg("i = %d, k = %d, lim = %d\n", i, k, lim);
    for (int j = 0; j <= lim; ++j) {
        sadd(ans, (ll)C[lim][j] * C[n + ss - 1][j + ss - 1] % P * mul % P);
//      dbg("W: i = %d, ans = %d\n", i, ans);
        mul = smod(mul << 1);
    }
    return ans;
}

inline void work() {
    ycl(n + k);
    for (int i = 2; i <= (k << 1); ++i)
        if (i & 1) printf("%d\n", calc(n, i, k));
        else printf("%d\n", smod(calc(n, i - 1, k - 1) + calc(n - 1, i - 1, k - 1)));
}

inline void init() {
    read(k), read(n);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
    freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
    init();
    work();
    fclose(stdin), fclose(stdout);
    return 0;
}

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原文地址：https://www.cnblogs.com/hankeke/p/ARC102E.html