【模板】生成函数

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例如，我们有一个数列{1,6,4,8,5}，我们考虑用一个函数来表示这个数列。

\(g(x)\)=\(1\)+\(6x^1\)+\(4x^2\)+\(8x^3\)+\(5x^4\)

在这个函数中，每一项的系数为数列中的数，每一项的未知数\(x\)的指数\(i\)代表了这一项的系数是原数列的\(i+1\)项。
那么这个可以做什么呢？
他可以求一类类似背包的题。
比如说：

有A,B两种物品，A种物品至多取2个，B种物品的取得个数必须是5的倍数。请问A，B两种物品的个数加起来的数量为n的方案数。

答案的函数就是：

\(g(x)\)=\((1+x^1+x^2)\)\((1+x^5+x^{10}...)\)

问：这个函数的第n项是什么？
很明显这个函数可以FFT。
但是，在\(-1<x<1\)时这些多项式可以化简。
例如：
第一个多项式直接等比数列求和。

\(1+x^k+x^{2k}+...+x^{(n-1)k}\)=\(\frac{1-x^{n}}{1-x^k}\)

第二项也可以化简。

\(1+x^5+x^{10}...\)=\(\frac{1}{1-x^5}\)

这个式子原来是\(\frac{1-x^n}{1-x^5}\),n越大，\(x^n\)就无限逼近于零，所以是\(\frac{1}{1-x^5}\)

一般的生成函数模板题都是化简完后，剩下\(\frac{1}{(1-x)^k}\)，那么这个式子又能化成什么呢？

这个其实是\(k\)个\(\frac{1}{1-x}\)相乘，也就是\(k\)个\((1+x^1+x^2...)\)相乘，用插板法，指数为i的项的系数就是\(C_{i+k-1}^{k-1}\)。

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