【HEOI】SAO

标签：复杂度   部分   转移   memset   设计   mes   方案   its   space   

树形dp

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这道题是真滴SAO（骚）啊

首先，如果你按照拓扑排序的方法去做的话。。。。请重构代码吧。。。。

若不看方向，这些边显然会形成一棵树，那我们考虑树形dp。

因此，状态肯定有一维\(dp[x]\)为当前节点为x。

显然，只开一维是不够的。那么，接下来，问题就来了，我们要如何设计第二维？

你会发现，当一个儿子转移到他父亲时，只用确定该儿子的当前位置就行了，于是\(dp[x][i]\)表示在以x为根的子树拓扑序中x排第i个的方案数

接着，考虑转移。

对于一个节点x和它的一个儿子t，那么t要么在x前面，要么在x后面。

1.t在x前面。

来看一波图。

考虑一般情况，首先，\(len[x]=size[x],len[t]=size[t]\)(\(size[x]\)表示以x为根的子树中点的数量)

那么对于\(dp[x][i]\)和\(dp[t][j]\)，假设合并后x排第k个

就有
\[ dp[x][k]=dp[x][k]+dp[x][i]\cdot dp[t][j]\cdot C_{k-1}^{i-1}\cdot C_{size[x]+size[t]-k}^{size[x]-i} \]

2.t在x后面

同理，
\[ dp[x][k]=dp[x][k]+dp[x][i]\cdot dp[t][j]\cdot C_{k-1}^{i-1}\cdot C_{size[x]+size[t]-k}^{size[x]-i} \]
于是，dp部分就有了如下代码:

void DFS(int x,int fa) {
    size[x]=1;
    dp[x][1]=1;
    for(int i=head[x]; ~i; i=G[i].last) {
        int t=G[i].ed,v=G[i].v;
        if(t==fa)continue;
        DFS(t,x);
        for(int j=1; j<=size[x]+size[t]; j++)tmp[j]=0;
        if(v==1) {
            for(int j=1; j<=size[x]; j++) {
                for(int k=1; k<=size[t]; k++) {
                    for(int o=j; o<=j+k-1; o++) {
                        tmp[o]+=dp[x][j]*dp[t][k]%MOD*C[o-1][j-1]%MOD*C[size[x]+size[t]-o][size[x]-j]%MOD;
                        tmp[o]%=MOD;
                    }
                }
            }
        } else {
            for(int j=1; j<=size[x]; j++) {
                for(int k=1; k<=size[t]; k++) {
                    for(int o=j+k; o<=j+size[t]; o++) {
                        tmp[o]+=dp[x][j]*dp[t][k]%MOD*C[o-1][j-1]%MOD*C[size[x]+size[t]-o][size[x]-j]%MOD;
                        tmp[o]%=MOD;
                    }
                }
            }
        }
        for(int j=1; j<=size[x]+size[t]; j++)dp[x][j]=tmp[j];
        size[x]+=size[t];
    }
}

然而，算一下复杂度，你会发现，这是\(O(n^3)\)的，显然这种写法会T。

于是我们要考虑优化。

首先，这种转移是累和的，那么我们想到可以用前缀和优化。

看一下转移方程：
\[ dp[x][k]=dp[x][k]+dp[x][i]\cdot dp[t][j]\cdot C_{k-1}^{i-1}\cdot C_{size[x]+size[t]-k}^{size[x]-i} \]
你会发现，j只出现过1次，那么我们可以先枚举i和k第3维j直接前缀和搞一波。

整体代码:（注意i,j,k的范围）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define MAXN 1010
const int MOD=1e9+7;
using namespace std;
int C[MAXN][MAXN],T,n,dp[MAXN][MAXN],head[MAXN],size[MAXN],ans,tot,tmp[MAXN],sum[MAXN];
struct node {
    int ed,v,last;
} G[MAXN*10];
void Add(int st,int ed,int v) {
    tot++;
    G[tot]=node {ed,v,head[st]};
    head[st]=tot;
}
void init() {//预处理组合数
    C[0][0]=1;
    for(int i=1; i<=MAXN-10; i++) {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1; j<=i; j++) {
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
        }
    }
}
void DFS(int x,int fa) {
    size[x]=1;
    dp[x][1]=1;
    for(int i=head[x]; ~i; i=G[i].last) {
        int t=G[i].ed,v=G[i].v;
        if(t==fa)continue;
        DFS(t,x);
        for(int j=1; j<=size[x]+size[t]; j++)tmp[j]=0;
        for(int j=1; j<=size[t]; j++)sum[j]=0;
        for(int j=1; j<=size[t]; j++)sum[j]=sum[j-1]+dp[t][j],sum[j]%=MOD;
        if(v==1) {
            for(int j=1; j<=size[x]; j++) {
                for(int o=j; o<=j+size[t]-1; o++) {
                    tmp[o]+=dp[x][j]*((sum[size[t]]-sum[o-j]+MOD))%MOD*C[o-1][j-1]%MOD*C[size[x]+size[t]-o][size[x]-j]%MOD;
                    tmp[o]%=MOD;
                }
            }
        } else {
            for(int j=1; j<=size[x]; j++) {
                for(int o=j+1; o<=j+size[t]; o++) {
                    tmp[o]+=dp[x][j]*((sum[o-j]-sum[0]+MOD))%MOD*C[o-1][j-1]%MOD*C[size[x]+size[t]-o][size[x]-j]%MOD;
                    tmp[o]%=MOD;
                }
            }
        }
        for(int j=1; j<=size[x]+size[t]; j++)dp[x][j]=tmp[j];
        size[x]+=size[t];
    }
}
signed main() {
    init();
    scanf("%lld",&T);
    while(T--) {
        ans=0;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(size,0,sizeof(size));
        tot=0;
        scanf("%lld",&n);
        int x,y;
        char work[5];
        for(int i=1; i<=n-1; i++) {
            scanf("%lld",&x);
            scanf("%s",work+1);
            scanf("%lld",&y);
            if(work[1]=='<') {
                Add(x,y,1);
                Add(y,x,0);
            } else {
                Add(x,y,0);
                Add(y,x,1);
            }
        }
        DFS(0,-1);
        for(int i=1; i<=size[0]; i++)ans+=dp[0][i],ans%=MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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原文地址：https://www.cnblogs.com/SillyTieT/p/11485692.html