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从“最简真分数的个数”谈起

时间:2019-09-13 10:55:05      阅读:104      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:瞧瞧   过程   10个   程序   分解   mit   思路   判断   集合   

      所谓最简真分数是一个分数的分子小于分母,且分子分母无公因数。
      2010年湖北省小学奥林匹克数学竞赛(小学六年级组)有这样一道试题:以2010为分母的最简真分数有多少个?
      这道小学奥数试题考察的是学生对集合包含和容斥知识的掌握情况。
      由于2010=2*3*5*67(分解质因数),因此以2010为分母的最简真分数的分子必须小于2010且不能被2、3、5或67整除。
      小朋友解决这个问题的计算过程如下:
      在1~2010共2010个数中,
      能被2整除的数有 2010÷2=1005
      能被3整除的数有 2010÷3=670
      能被5整除的数有 2010÷5=402
      能被67整除的数有 2010÷67=30
      能同时被2和3整除的数有 2010÷(2×3)=335
      能同时被2和5整除的数有 2010÷(2×5)=201
      能同时被2和67整除的数有 2010÷(2×67)=15
      能同时被3和5整除的数有 2010÷(3×5)=134
      能同时被3和67整除的数有 2010÷(3×67)=10
      能同时被5和67整除的数有 2010÷(5×67)=6
      能同时被2、3和5整除的数有 2010÷(2×3×5)=67
      能同时被2、3和67整除的数有 2010÷(2×3×67)=5
      能同时被2、5和67整除的数有 2010÷(2×5×67)=3
      能同时被3、5和67整除的数有 2010÷(3×5×67)=2
      能同时被2、3、5和67整除的数有 2010÷(2×3×5×67)=1
      这样,1~2010中能被2或3或5或67整除的数有
        (1005+670+402+30)-(335+201+15+134+10+6)+(67+5+3+2)-1
       =2107-701+77-1   =1482
      因此,1~2010中既不能被2整除,也不能被3整除,也不能被5整除,也不能被67整除的数有 2010-1482=528 个。
      即以2010为分母的最简真分数有528个。

      我们可以看出,上面的计算过程是比较繁琐的,需要认真仔细。
      学习过程序设计后,可以编写了一个简单的循环程序解决这个问题。
      用一个变量cnt来保存最简真分数的个数,初始值为0。
      对1~2010中的每一个数num,进行判断,这是一个循环,写成
             for(num=1; num<=2010;num++)
      循环体中的判断方法为:如果num既不能被2整除,也不能被3整除,也不能被5整除,也不能被67整除,则计数。写成
       if(num%2!=0 && num%3!=0 && num%5!=0 && num %67!=0)
              cnt++;
      最后,输出结果cnt。   一个简单的程序,就得到问题的答案。
?   编写的源程序如下:
       #include <stdio.h>
       int main()
       {
             int cnt,num;
             cnt=0;
             for (num=1; num<=2010;num++)
                  if (num%2!=0 && num%3!=0 && num%5!=0 && num %67!=0)
                       cnt++;
             printf("%d\n",cnt);
             return 0;
       }

      需要说明的是,当时竞赛的真题是:所有以2010为分母的最简真分数的和为多少?

      瞧瞧,作为大学生的你还能像小朋友一样做出来吗?

      当然,你学过程序设计,将上面的程序简单改写一下,可以很快得到答案的。何须像小朋友一样苦苦思考和运算呢。

#include <stdio.h>
int main()
{
     int num;
     double sum;
     sum=0;
     for (num=1; num<=2010;num++)
         if (num%2!=0 && num%3!=0 && num%5!=0 && num %67!=0)
               sum+=1.0*num/2010;
     printf("%lf\n",sum);
     return 0;
}

      程序运行后,输出 264.000000。即所有以2010为分母的最简真分数的和是264。

      小朋友是没法像程序一样硬算的。1/2010+7/2010+11/2010+…+2099/2010=264。

      小朋友有小朋友的聪明,1/2010是最简真分数,那么2099/2010 也一定是最简真分数。

      i/2010 是最简真分数,那么 (2010-i)/2010 也一定是最简真分数。

      1/2010 + 2099/2010=1         i/2010 +(2010-i)/2010=1。

      小朋友知道了以2010为分母的最简真分数有528个,因此它们的和为 528/2 = 264。

      因为2010分解质因数后,因数有2、3、5和67四个,用于考察集合的包含与容斥计算量略大但又可以完成,可以算是一道很好的竞赛试题。

     在这道试题的基础上,我们看这样一个问题。

【例1】最简真分数。

      任意输入一个正整数n,求以n为分母的最简真分数有多少个?

     (1)编程思路1。

      将输入的n作为分母,穷举分子i (1≤i≤n-1)。因此,程序可先写成如下的循环:

         for (i=1; i<=n-1; i++)
        {
               对每一分数i/n,进行是否存在公因数的检测。根据检测的结果决定是否计数;
        }
      在上面的循环体中需要对每一分数i/n,进行是否存在公因数的检测。如果分子i与分母n存在大于1的公因数k,说明i/n不是最简真分数,不予计数。怎样进行检测呢?
      因为公因数k的取值范围为[2,i],因而设置u循环在[2,i]中穷举k,若满足条件
            i%k==0 && n%k==0
      说明分子分母存在公因数k,标记t=1后退出。
      在对因子k进行循环穷举前,可设置标志t=0。退出因子穷举循环后,若t=1,说明分子和分母存在公因子;若保持原t=0,说明分子分母无公因数,统计个数。

      (2)源程序1。

#include <stdio.h>
int main()
{
      int n,i,k,t,cnt;
      while (scanf("%d",&n) && n!=0)
      {
           cnt=0;
           for (i=1;i<=n-1;i++)       // 穷举分子
           {
                t=0;
                for (k=2;k<=i;k++)  // 穷举因数
                    if (i%k==0 && n%k==0)
                    {
                         t=1;
                         break;          // 分子分母有公因数舍去
                    }
               if (t==0)
                     cnt++;           // 统计最简真分数个数
          }
          printf("%d\n",cnt);
      }
      return 0;
}

      将上面的源程序提交给 POJ 2407 “Relatives”,判定为Time Limit Exceeded。  POJ 2407的题意是: 输入正整数N,求小于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数。这与求最简真分数的意思完全一致。

      上面源程序1的方法简单直接,但对于N值较大的话,会超时的。因此,我们应找到快速的求法。在数论中,欧拉函数就很好地解决了这样的问题。

      在数论,对于正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名,一般简记为φ函数。 例如,φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。

      一般来说,设正整数N分解质因数后,N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

      则   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn)。

      例如, 10= 2*5     φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;     这4个数是1, 3, 7, 9 。

         30=2*3*5   φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;  这8个数是1,7,11,13, 17, 19, 23, 29。

 

从“最简真分数的个数”谈起

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原文地址:https://www.cnblogs.com/cs-whut/p/11515994.html

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