标签：最小 这不 复杂 计算 复杂度 一个 它的 spl 暴力
给你一个正整数 \(n\)，求有多少字符集为 \(1\) 到 \(k\) 之间整数的字符串，使得该字符串可以由一个长度为 \(n\) 的回文串循环移位得到。
ARC原题 \(100\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^9\)
SDOI改编后，\(30\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^{10}\)，\(60\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^{14}\)，\(100\%\) 的数据是 \(n,k\le 10^{18}\)……
考虑一个回文串，设它的循环节长度为 \(x\)，若 \(x\) 为奇数，则对答案贡献 \(x\)；若为偶数，则对答案贡献 \(\frac{x}{2}\)。
我们按 \(x\) 把所有字符串分类，统计每一类的数量。
设 \(f(i)\) 表示最小循环节长度为 \(i\) 的回文串数量，\(F(i)\) 表示循环节长度为 \(i\)（即 \(i\) 是最小循环节长度的正整数倍）能得到新回文串的回文串数量。
则 \[F(i)=\sum\limits_{d|i} f(d)\] \[ans = \sum\limits_{d|n} f(d)\times \begin{cases} d（d为奇数） \\ \frac{d}{2}（d为偶数） \end{cases}\]
显然有 \(F(i)=k^{\lceil \frac{i}{2}\rceil}\)，我们可以解 \(f(d)\) 了。
\(n\le 10^{10}\) 时，因数最多约有 \(6700\) 多个。所以我们要求出 \(6700\) 多个 \(f(d)\)。
解法一：移项得 \(f(i)=F(i)-\sum\limits_{d|i 且 d≠i} f(i)\)
递推 \(f\) 即可。
解法二：这不是莫比乌斯反演式子？
根据公式转化成 \(f(i)=\sum\limits_{d|i} F(d)\mu(\frac{i}{d})\)
我们最多只需要求 \(6700\) 多个 \(\mu\)，因为可以暴力 \(\text{dfs}\) 计算 \(\mu(i)\)。
然后直接算 \(f(i)\) 即可。
复杂度大约 \(O(6700^2)\)。
发现 \(\text{dfs}\) 的时候，每个质因数只需要乘 \(0\) 或 \(1\) 个，乘 \(2\) 个的话 \(\mu\) 值就变成了 \(0\) 了。
于是复杂度变为 \(O(17280\times 2^{12})\)，但约数数量通常不多，更不会卡满上界 \(17280\)，所以卡卡常就能 \(60\) 分？
看不懂，请移步 scb 的博客。
【SDOI2018】反回文串（【ARC064 F】Rotated Palindromes 加强版）
标签：最小 这不 复杂 计算 复杂度 一个 它的 spl 暴力
原文地址：https://www.cnblogs.com/scx2015noip-as-php/p/11519710.html
