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给出一个整数 $N$，每次可以在不超过 $N$ 的素数中等概率随机选择一个 $P$，如果 $P$ 是 $N$ 的约数，则把 $N$ 变成 $N/P$，否则 $N$ 不变。问平均情况下需要多少次随机选择，才能把 $N$ 变成1呢？
本题可以画出一个状态转移图，
例如 $n=6$ 时，
$n$ 的每个约数都对应一个状态，每个状态转移都有一定概率，从每个状态出发转移的概率和为1.
设 $f(i)$ 表示当前的数为 $i$ 时接下来需要选择的期望次数，可列出方程：
$$f(6) = 1 + f(6)/3 + f(3)/3 + f(2)/3$$
一般地，设不超过 $x$ 的素数有 $p(x)$ 个，其中有 $g(x)$ 个是 $x$ 的因子，则
$$f(x) = 1 + f(x) \times [1 - \frac{g(x)}{p(x)}] + \sum_{x | y} \frac{f(x/y)}{p(x)}$$
即
$$f(x) = \frac{\sum _{x|y}f(x/y) + p(x)}{g(x)}$$
边界为 $f(1)=0$，因为 $x/y < x$（即形成的是有向无环图），可以用记忆化搜索的方式 计算 $f(x)$，否则就要用高斯消元了。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; //返回n以内素数的个数 //埃氏筛法O(nloglogn) const int maxn = 1000000 + 10; int prime[maxn]; //prime[i]表示第i个素数 bool is_prime[maxn + 1]; //is_prime[i]为true表示i是素数 int prime_cnt; int sieve(int n) { int cnt = 0; for (int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true; is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (long long i = 2; i <= n; i++) { if (is_prime[i]) { prime[cnt++] = i; for (long long j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false; //i * i可能爆int } } return cnt; } bool vis[maxn]; double f[maxn]; double dp(int x) { //printf("x: %d\n", x); if(vis[x]) return f[x]; if(x == 1) return 0.0; vis[x] = 1; double& ans = f[x]; int g = 0, p = 0; //累加g[x] 和 p[x] ans = 0; for(int i = 0;i <prime_cnt && prime[i] <= x; i++) { p++; if(x % prime[i] == 0) { g++; ans += dp(x / prime[i]); } } ans = (ans + p) / g; return ans; } int n; int main() { prime_cnt = sieve(1000000); int T, kase = 0; scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%d", &n); printf("Case %d: %.8f\n", ++kase, dp(n)); } return 0; }
Uva11762 Race to 1——有向无环图&&记忆化搜索
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lfri/p/11543813.html
