CF1151F Sonya and Informatics

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luogu

我们最终要的序列一定是前面全是0,后面全是1,假设总共\(m\)个0,那么这等价于前\(m\)位0的个数为\(m\).当然一开始可能数量没有\(m\)

那就把前\(m\)位0的数量作为状态,记\(f_{i,j}\)表示前\(i\)次操作,前\(m\)位有\(j\)个0的概率.转移的话只有两种情况会改变状态下表,第一种是前面的0和后面的1交换,这会导致\(j-1\),第二种是前面的1和后面的0交换,这会导致\(j+1\),剩下的情况都不会改变\(j\).所以就可以做到\(O(nk)\)转移,至于前面1数量,以及后面0/1数量都可以通过\(j\)推出来

状态和转移是个矩阵的形式,矩乘优化即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define uLL unsigned long long
#define db double

using namespace std;
const int N=100+10,mod=1e9+7;
int rd()
{
    int x=0,w=1;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
int fpow(int a,int b){int an=1;while(b){if(b&1) an=1ll*an*a%mod;a=1ll*a*a%mod,b>>=1;} return an;}
int ginv(int a){return fpow(a,mod-2);}
int n,m,kk,a[N];
struct matrix
{
    int a[N][N];
    matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    matrix operator * (const matrix &bb) const
    {
        matrix an;
        for(int i=0;i<=m;++i)
            for(int j=0;j<=m;++j)
            {
                LL nw=0;
                for(int k=0;k<=m;++k) nw+=1ll*a[i][k]*bb.a[k][j]%mod;
                an.a[i][j]=nw%mod;
            }
        return an;
    }
    matrix operator ^ (const LL &bb) const
    {
        matrix an,a=*this;
        for(int i=0;i<=m;++i) an.a[i][i]=1;
        LL b=bb;
        while(b)
        {
            if(b&1) an=an*a;
            a=a*a,b>>=1;
        }
        return an;
    }
}aa,bb;

int main()
{
////////////////////
    n=rd(),kk=rd();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i]=rd(),m+=!a[i];
    int nn=n*(n-1)/2,p=ginv(nn);
    for(int i=max(m+m-n,0);i<=m;++i)
    {
        if(i>0) bb.a[i][i-1]=(bb.a[i][i-1]+1ll*i*(n-m-m+i)%mod*p%mod)%mod;
        if(i<m) bb.a[i][i+1]=(bb.a[i][i+1]+1ll*(m-i)*(m-i)%mod*p%mod)%mod;
        bb.a[i][i]=(bb.a[i][i]+1ll*(nn-i*(n-m-m+i)%mod-(m-i)*(m-i)%mod)*p%mod)%mod;
    }
    int mm=0;
    for(int i=1;i<=m;++i) mm+=!a[i];
    aa.a[0][mm]=1;
    printf("%d\n",(aa*(bb^kk)).a[0][m]);
    return 0;
}

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