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首先便是想到了Floyd的暴力方法，状态转移方程也不难推出：w[i][j]=max(w[i][j], min(w[i][k],w[k][j]));但是n^3n3次方时间复杂度和n^2n2的空间复杂度是显然不可取的。
于是我们思考，可以发现有一些权值较小的边是不会被走过的。正如样例中的第三条边，就算有其他的很多条边，这条边无论如何也是不会被走过的。于是我们想到了可以将图中这样的边去掉，按照这个思路我们便想到了构造最大生成树，将其余的边去除。
得到了这样一个树之后，我们便考虑如何求出两个节点之间最小边权的最大值（即为题中的最大载重），因为这两点之间的路径是唯一的，我们只需要找出这条路径便可以得到答案。我们可以通过LCA来做到这一点，我求LCA的方法是先从每一个根节点进行搜索，求出节点深度等信息，然后利用这些信息进行树上倍增。
于是我们可以得出大体思路：首先重新建图，构造出最大生成树，然后在最大生成树上求LCA来回答询问。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 10005
#define INF 999999999
using namespace std;
struct Edge1{
int x,y,dis;
}edge1[50005];
struct Edge2{
int to,next,w;
}edge2[100005];
int cnt,n,m,head[MAXN],deep[MAXN],f[MAXN],fa[MAXN][21],w[MAXN][21];
bool vis[MAXN];
void addedge(int from, int to, int w)
{
edge2[++cnt].next=head[from];
edge2[cnt].to=to;
edge2[cnt].w=w;
head[from]=cnt;
return ;
}
bool CMP(Edge1 x, Edge1 y)
{
return x.dis>y.dis;
}
int find(int x){
if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);
return f[x];
}
void kruskal()
{
sort(edge1+1, edge1+m+1, CMP);
for(int i=1; i<=n; i++)
f[i]=i;
for(int i=1; i<=m; i++)
if(find(edge1[i].x)!=find(edge1[i].y)){
f[find(edge1[i].x)]=find(edge1[i].y);
addedge(edge1[i].x, edge1[i].y, edge1[i].dis);
addedge(edge1[i].y, edge1[i].x, edge1[i].dis);
}
return ;
}
void dfs(int node)
{
vis[node]=true;
for(int i=head[node]; i; i=edge2[i].next){
int to=edge2[i].to;
if(vis[to]) continue;
deep[to]=deep[node]+1;
fa[to][0]=node;
w[to][0]=edge2[i].w;
dfs(to);
}
return ;
}
int lca(int x, int y)
{
if(find(x)!=find(y)) return -1;
int ans=INF;
if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
for(int i=20; i>=0; i--)
if(deep[fa[y][i]]>=deep[x]){
ans=min(ans, w[y][i]);
y=fa[y][i];
}
if(x==y) return ans;
for(int i=20; i>=0; i--)
if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
ans=min(ans, min(w[x][i], w[y][i]));
x=fa[x][i];
y=fa[y][i];
}
ans=min(ans, min(w[x][0], w[y][0]));
return ans;
}
int main()
{
int x,y,z,q;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=m; i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
edge1[i].x=x;
edge1[i].y=y;
edge1[i].dis=z;
}
kruskal();
for(int i=1; i<=n; i++)
if(!vis[i]){
deep[i]=1;
dfs(i);
fa[i][0]=i;
w[i][0]=INF;
}
for(int i=1; i<=20; i++)
for(int j=1; j<=n; j++){
fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
w[j][i]=min(w[j][i-1], w[fa[j][i-1]][i-1]);
}
scanf("%d",&q);
for(int i=1; i<=q; i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",lca(x,y));
}
return 0;
}
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原文地址：https://www.cnblogs.com/ainiyuling/p/11567307.html
