浅谈密码学中数论基础

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1.模运算（mod)

模运算也可以称为取余运算，例如 23≡11（mod12),因此如果a=kn+b,也可以表示为a ≡ b(mod n)，运算规则：

（a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n))mod n

  (a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

• 完全剩余集合

1~n-1构成了自然数n的完全剩余集合，对于任意一个整数m%n都存在于1~n的集合中。

• 构造加法链

   在加密算法中，运用到了大量的取模运算，对于一个k位数模n，所有的运算例如加减乘除中间结构将不会超过2k位，因此例如a^x mod n将会大大简化计算时的复杂度。

例如a⁸ mod n 在计算时可以这样计算 ((a² mod n)² mod n)² mod n

当指数x不是2的倍数时则需要构造加法链，例如25，25 = 16 + 8 +1 = 2⁴ + 2^{3 +} 2⁰

因此a²⁵ mod n = （a * a⁸ * a¹⁶ ) mod n = ((((a² * a)²)²)²*a)mod n

C语言表示

unsigned long ss(unsigned long x , unsigned long y , unsigned long n) {
unsigned long s,t,u;
int i ;
s = 1; t =x ; u=y;
while(u){
if(u&1) s = (s*t)&n;
u>>=1;
t = (t*t) % n ;
}
return (s);
}

• 素数

最大公因数(gcd)

gcd(4,2)=2 gcd(4,3)=1 gcd(6,4)=2

c语言：

int gcd(int x,int y){
int m;
while(x>0){
m = x;
x = x%y;
y = m;
} 
return m

• 模逆元

逆元：

方程  的解称为  关于模  的逆，当 （即 ， 互质）时，方程有唯一解，否则无解。

那么逆元可以用来干什么呢，比如说对于 ，并没有 ，但是直接除又会爆精度，这时我们就可以用到逆元，假设用  代表  的逆元，那么 。

模逆元：

4 * x ≡ 1（mod 7），即 4x = 7k + 1

更常见的问题是：1 = (a * x) mod n 也可以写作 a^-1≡ x (mod n)

因此这里存在一个解集的问题:

当gcd(a,n) = 1 , a^-1 ≡ x (mod n) 存在唯一解

当gcd(a,n) ≠ 1 a^-1 ≡ x (mod n) 无解

如何找出a%n  的逆元，利用拓展欧几里得算法

void e_gcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        gcd = a;
    }
    else
    {
        e_gcd(b, a % b, gcd, y, x);
        y -= x * (a / b)
    }
}

• 费马小定理

       这个定理在初中数学联赛中经常会遇到，貌似之前看过高中联赛也有过，只不过CMO作为了基础写了一下。

内容：如果m是一个素数，且a不是m的倍数，那么根据定理存在 a ^m-1≡ 1(mod m)

• 欧拉函数

      欧拉函数：φ(n)表示从1~n-1中有多少个数与n互为质数。 φ(1) = 1,通项公式：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn)

其中 p1~pn为n的质因数。

在一些加密算法中，产生秘钥的过程即计算欧拉函数的过程。

• 有限域上的离散对数

模指数是频繁运用于密码学中的另一种单向函数

例如：3^x≡ 15 mod 17  , x = 6

不是所有的离散对数都有相应解 例如  3 ^x ≡ 7 mod 13 没有整数x可以符合这个公式，因此这个离散对数无解。有限域上的离散对数存在于两种情况中：

1.质数域中的乘法群

2.有限域中的椭圆曲线群

浅谈密码学中数论基础

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原文地址：https://www.cnblogs.com/sylover/p/11570254.html