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广义二项式定理是把一般的二项式定理从整数域推广到了实数域
定义:
\[C_{\alpha}^{k}=\begin{cases} \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \dots (\alpha-k+1)}{k!},k>1 \\ 1,k=0 \\ 0,k<0 \end{cases}(k \in \mathbb{Z},\alpha \in \mathbb{R})\]
那么有
\[(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infin} C_{\alpha}^{k} x^{\alpha-k}y^k (\alpha \in \mathbb{R})\]
推论:
(1) \[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{n-k}y^k (n \in \mathbb{N^+})\]
? 证明：拆成两部分
\[ \begin{aligned} (x+y)^n &=\sum_{k=0}^{\infin} C_{n}^{k} x^{n-k}y^k \\ &=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{n-k}y^k+ \sum_{k=n+1}^{\infin} C_{n}^{k} x^{n-k}y^k\end{aligned}\]
注意到当\(n,k \in \mathbb N\),且\(n<k\)时，\(\frac{n(n-1)(n-2) \dots (n-k+1)}{k!}\)的分子中一定有一项是0，所以\(C_n^k=0\)
那么\((x+y)^n=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{n-k}y^k (n \in \mathbb{N^+})\)
(2) \[(x+y)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infin} (-1)^k C_{n+k-1}^{n-1} x^{n-k}y^k (n \in \mathbb{N^+})\]
证明：
\[\begin{aligned} C_{-n}^{k} &=\frac{(-n)(-n-1)(-n-2) \dots (-n-k+1)}{k!} \\ &= (-1)^k \frac{n(n+1)(n+2) \dots (n+k-1)}{k!} \\ &=(-1)^k C_{n+k-1}^{k}=(-1)^k C_{n+k-1}^{n-1}\end{aligned}\]
代入广义二项式定理的表达式,
\[(x+y)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k C_{n+k-1}^{n-1} x^{n-k}y^k (n \in \mathbb{N^+})\]
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原文地址：https://www.cnblogs.com/birchtree/p/11575252.html
